Condições iniciais para sistemas descritos no espaço de estado - LTI ou não?

Suponha que tenhamos algum sistema dado por

$$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= Ax(t) +Bu(t) \\ y(t) &= Cx(t)+Du(t) \end{aligned}$$

Onde $x(t)$ são as variáveis ​​de estado, $y(t)$ é a saída e $u(t)$é a entrada. Todas as matrizes são constantes. A mesma pergunta se aplica ao caso discreto

$$\begin{aligned} x[n+1] &= Ax[n] +Bu[n] \\ y[n] &= Cx[n]+Du[n] \end{aligned}$$

Sabe-se que um sistema com condições iniciais diferentes de zero não pode ser LTI . No entanto, se$x(0)\neq0$, Não vejo por que o sistema acima não seria LTI, como é expresso. Até onde eu sei, se um sistema é expresso dessa maneira, ele deve ser linear e, como as matrizes não dependem de$t$, também deve ser invariável no tempo.

Portanto, temos um sistema que precisa ser LTI, pois é expresso no espaço de estados com matrizes constantes, mas não pode ser LTI porque possui $x(0)\neq0$.

Não vejo o erro no raciocínio que me leva a essa contradição absurda. Alguém pode apontar isso?

Como sou apenas um estudante de graduação, talvez minha resposta seja um pouco ingênua, mas, de acordo com Oppenheim, não são apenas as condições iniciais diferentes de zero que fazem com que uma equação diferencial / diferença de coeficiente constante linear seja não LTI. Uma equação diferencial / diferença com condições iniciais fixas zero também não pode ser LTI. Para que uma equação diferencial / diferença de coeficiente constante linear descreva um sistema LTI causal, as condições iniciais devem satisfazer a condição de repouso inicial: ou seja, a saída não se torna diferente de zero até que a entrada se torne diferente de zero.

Com relação à sua pergunta (a representação do espaço de estados), observe que a entrada para o sistema é $u(t)$ e a saída é $y(t)$. A propriedade "entrada zero / saída zero" dos sistemas lineares se aplica apenas a

$$y(t) = C x(t) + Du(t)$$ E se $x(t) = 0$, se considerarmos apenas $u(t)$ é a entrada para o sistema, mas me parece que a noção de linearidade pode ser estendida às representações do espaço de estados para explicar o vetor de estado $x(t)$. Em qualquer caso, as condições iniciais a que Oppenheim se refere quando se fala em equações diferenciais (condições na saída$y(t)$ e seus derivados) não são iguais às condições iniciais que você referenciou na sua pergunta (condições no vetor de estado $x(t)$) Novamente, não sei se estou correto e sempre fui confundido com isso, mas talvez isso possa ajudar.

Se você olhar o Capítulo 5 de:

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-introduction-to-communication-control-and-signal-processing-spring-2010/readings/MIT6_011S10_notes.pdf

, intitulado "Propriedades dos modelos de espaço de estado da LTI", a equação 5.33 não parece ter um problema com as condições iniciais ou qualquer outro livro (estou corrigido, há um livro) que eu conheço. A menos que Oppenheim tenha sido tocado com insanidade, estou inclinado a aceitar sua caracterização de que as condições iniciais não desqualificam um sistema de LTI como "não linear" pelo uso do termo "linear de entrada zero".

No início das notas (e na terceira edição da Oppenheim e Shaefer), um sistema de LTI é fornecido como:

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[ n -k]$$ o que não requer $h[n]$ ser causal ou estável. $x[n]$ não tem que satisfazer $x[n]=0 \;\text{for} \; n <0$ .

Há ênfase no texto que é preciso considerar toda a história da $x[n]$, não apenas para $n \ge 0$.

deixei

$$x[n] = \hat{x}[n]+\tilde{x}[n]$$ Onde $$\hat{x}[n] = \begin{cases} x[n]\; \text{for}\; n<0 \; \text{and}\\ 0 \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$

e

$$\tilde{x}[n] = \begin{cases}0\; \text{for} \; n<0 \; \text{and}\; \\ x[n] \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$ por linearidade.

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k] + \sum_{k=0}^{\infty} \tilde{x}[k] h[ n -k]$$ E se $y[n]$ é causal, $$y[n]=\underbrace{\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \tilde{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$

O ponto essencial é que as condições iniciais respondem por informações anteriores. Onde$n=0$ é referenciado para $x[n]$é arbitrário, que é outra manifestação de invariância do tempo. As condições iniciais não são um valor arbitrário que incomoda o sistema. E se$x[n] = 0$ para $n <0$ as condições iniciais são zero.

Vamos tentar outra coisa. Deixei$z[n]=\tilde{x}[n+1]$ (avanço de uma amostra) e com $\tilde{x}[n]$, o sistema era LTI sem controvérsia. Mas agora,

$$y[n]=\underbrace{ z[-1] h[n]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} z[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$ e agora temos uma condição inicial. Um deslocamento para a frente de 1 amostra tornaria um sistema de LTI não linear?

A falácia lógica na raiz da questão é usar a definição de linearidade de estado zero e aplicá-la ao caso de entrada zero.