Como deduzir a resposta de impulso de um sistema linear a partir de um conjunto de sinais de entrada e saída?


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Eu quero saber como resolver esses tipos de problemas .. é por inspeção?

Considere o sistema linear abaixo. Quando as entradas para o sistema , e , as respostas dos sistemas são , e como mostrado.x1[n]x2[n]x3[n]y1[n]y2[n]y3[n]

insira a descrição da imagem aqui

  1. Determine se o sistema é invariante no tempo ou não. Apenas a sua resposta.

  2. Qual é a resposta ao impulso?

EDIT: Assumindo um caso geral em que as entradas fornecidas não contêm um impulso em escala comox2[n]


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Dica: Use e y 2 [ n ] para determinar qual deve ser a resposta ao impulso de T (já que x 2 [ n ] é apenas um impulso em escala). Isso fornece a resposta para a parte (b). Em seguida, verifique os outros dois casos para ver se as entradas / saídas são consistentes com essa resposta de impulso (usando a propriedade de superposição de um sistema linear) para obter uma resposta para a parte (a). x2[n]y2[n]Tx2[n]
Jason R

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Esse é um problema mais difícil no caso geral. Se todos eles são curtos assim, você conhece um limite superior na duração da resposta ao impulso e possui pares de entrada / saída suficientes, então você pode configurar um sistema de equações lineares que você pode resolver para chegar ao impulso desconhecido valores de resposta.
Jason R

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No caso geral, também é bem possível que não exista uma solução FIR ou nenhuma solução. Dica: verifique os valores DC de x1 [n] e y1 [n].
Hilmar

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Dica: Como é o sinal ? Para um sistema de LTI , a resposta deve ser y 2 [ n ] - y 2 [ n - 2 ] , não? É isso? Além disso, observe que, para um sistema variável de tempo linear no tempo discreto , não há uma resposta de pulso unitário, mas uma infinidade de respostas de pulso unitário, uma para cada instante em que o pulso unitário ocorre. x2[n]-x2[n-2]y2[n]-y2[n-2]
usar o seguinte código

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@DilipSarwate: Concordo que este é um problema terrível de dever de casa. No entanto, o sistema parece causal. Enquanto é diferente de zero para n = - 2 , também é x 3 [ n ] , portanto a saída do sistema não está levando a entrada no tempo. y3[n]n=-2x3[n]
Jason R

Respostas:


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Não sei ao certo qual é o problema da causalidade ou da falta dela. Você pode abordar esse problema apenas pensando em álgebra linear. é uma transformação linear. A aplicação de L à entrada é apenas a multiplicação da matriz. Portanto, temos L x = y Se x é um impulso, basta selecionar uma coluna de L , de modo que as colunas de L são as respostas de impulso. Obviamente, 3 pares de entrada-saída não são suficientes para determinar completamente L como uma matriz 5x5.eueu

eux=y
xeueueu

Vamos considerar o que a invariância no tempo significaria dessa perspectiva. Se uma transformação é linear e invariante no tempo, sua resposta ao impulso sempre tem a mesma forma e só é alterada no tempo na mesma quantidade que o impulso de entrada. Então, digamos que a resposta do impulso para seja 0 1 2 3 0 centrada no topo do impulso de entrada (e, portanto, não causal). A matriz para um L linear invariável no tempo seria então: L = ( 2 1 0 0 0 3 2 1 0 0 0 3 2 1 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0eueu

eu=(21 10 00 00 0321 10 00 00 0321 10 00 00 0321 10 00 00 032)

Portanto, para responder à primeira pergunta, você só precisa criar duas colunas suficientes para ver se elas são diferentes para refutar a invariância do tempo. Uma maneira direta de fazer isso é assumir que é invariante no tempo e derivar uma contradição. No entanto, mostrar que é invariante no tempo requer mais informações, isto é, exige a especificação completa da matriz. Se não for invariante no tempo, haverá uma resposta de impulso potencialmente diferente para cada amostra, não uma, como as outras mencionaram.

eu


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Parece haver uma imagem que se foi agora e, portanto, posso estar perdendo alguma coisa.


  1. x1 1[n-m]y1 1[n-m]

  2. Se os sinais de entrada tiverem banda limitada e a largura de banda for menor que o seu sistema, você não poderá restaurar a resposta ao impulso.
    Você poderá obter apenas a resposta nas frequências em que a entrada possui energia.
    Isso pode ser feito pela análise de frequência da entrada e da saída.
    Se o seu sistema é realmente LTI, a conexão entre entrada e saída é dada por convolução com a resposta ao impulso.
    Convolução é multiplicação no domínio da frequência; portanto, você pode obter facilmente a resposta ao impulso (novamente, apenas nas frequências em que a entrada possui energia).

Atualizar

Este é um bom caso para mostrar a propriedade comutativa da convolução.

y[n]=(hx)[n]=(xh)[n]

Conforme escrito acima, uma maneira de fazer isso é escrever o problema em forma de matriz.


A imagem está de volta agora. Parece que você tem uma pergunta muito específica. Portanto, minha resposta, que era muito mais geral, não é suficientemente focada.
Royi
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