Como deduzir a resposta de impulso de um sistema linear a partir de um conjunto de sinais de entrada e saída?

Eu quero saber como resolver esses tipos de problemas .. é por inspeção?

Considere o sistema linear abaixo. Quando as entradas para o sistema , e , as respostas dos sistemas são , e como mostrado. $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

insira a descrição da imagem aqui

Determine se o sistema é invariante no tempo ou não. Apenas a sua resposta.
Qual é a resposta ao impulso?

EDIT: Assumindo um caso geral em que as entradas fornecidas não contêm um impulso em escala como $x_2[n]$

— Belbesy
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Dica: Use

para determinar qual deve ser a resposta ao impulso de

(já que

é apenas um impulso em escala). Isso fornece a resposta para a parte (b). Em seguida, verifique os outros dois casos para ver se as entradas / saídas são consistentes com essa resposta de impulso (usando a propriedade de superposição de um sistema linear) para obter uma resposta para a parte (a).

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Jason R

Esse é um problema mais difícil no caso geral. Se todos eles são curtos assim, você conhece um limite superior na duração da resposta ao impulso e possui pares de entrada / saída suficientes, então você pode configurar um sistema de equações lineares que você pode resolver para chegar ao impulso desconhecido valores de resposta.

— Jason R

No caso geral, também é bem possível que não exista uma solução FIR ou nenhuma solução. Dica: verifique os valores DC de x1 [n] e y1 [n].

— Hilmar

Dica: Como é o sinal

? Para um sistema de LTI , a resposta deve ser

, não? É isso? Além disso, observe que, para um sistema variável de tempo linear no tempo discreto , não há uma resposta de pulso unitário, mas uma infinidade de respostas de pulso unitário, uma para cada instante em que o pulso unitário ocorre.

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— usar o seguinte código

@DilipSarwate: Concordo que este é um problema terrível de dever de casa. No entanto, o sistema parece causal. Enquanto

é diferente de zero para

, também é

, portanto a saída do sistema não está levando a entrada no tempo.

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Jason R

Respostas:

Não sei ao certo qual é o problema da causalidade ou da falta dela. Você pode abordar esse problema apenas pensando em álgebra linear. é uma transformação linear. A aplicação de à entrada é apenas a multiplicação da matriz. Portanto, temos Se é um impulso, basta selecionar uma coluna de , de modo que as colunas de são as respostas de impulso. Obviamente, 3 pares de entrada-saída não são suficientes para determinar completamente como uma matriz 5x5. $L$ $L$

eu x = y

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

Vamos considerar o que a invariância no tempo significaria dessa perspectiva. Se uma transformação é linear e invariante no tempo, sua resposta ao impulso sempre tem a mesma forma e só é alterada no tempo na mesma quantidade que o impulso de entrada. Então, digamos que a resposta do impulso para seja 0 1 2 3 0 centrada no topo do impulso de entrada (e, portanto, não causal). A matriz para um linear invariável no tempo seria então: $L$ $L$

eu = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 3 & 2 & 1 1 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 3 & 2 & 1 1 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 3 & 2 & 1 1 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

Portanto, para responder à primeira pergunta, você só precisa criar duas colunas suficientes para ver se elas são diferentes para refutar a invariância do tempo. Uma maneira direta de fazer isso é assumir que é invariante no tempo e derivar uma contradição. No entanto, mostrar que é invariante no tempo requer mais informações, isto é, exige a especificação completa da matriz. Se não for invariante no tempo, haverá uma resposta de impulso potencialmente diferente para cada amostra, não uma, como as outras mencionaram.

$L$

— Derek Elkins deixou o SE
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Parece haver uma imagem que se foi agora e, portanto, posso estar perdendo alguma coisa.

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
Se os sinais de entrada tiverem banda limitada e a largura de banda for menor que o seu sistema, você não poderá restaurar a resposta ao impulso.
Você poderá obter apenas a resposta nas frequências em que a entrada possui energia.
Isso pode ser feito pela análise de frequência da entrada e da saída.
Se o seu sistema é realmente LTI, a conexão entre entrada e saída é dada por convolução com a resposta ao impulso.
Convolução é multiplicação no domínio da frequência; portanto, você pode obter facilmente a resposta ao impulso (novamente, apenas nas frequências em que a entrada possui energia).

Atualizar

Este é um bom caso para mostrar a propriedade comutativa da convolução.

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

Conforme escrito acima, uma maneira de fazer isso é escrever o problema em forma de matriz.

— Royi
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A imagem está de volta agora. Parece que você tem uma pergunta muito específica. Portanto, minha resposta, que era muito mais geral, não é suficientemente focada.

— Royi