Como criar filtros de interpolação Nyquist com o algoritmo Parks-McClellan?

Podemos projetar facilmente filtros de interpolação que obedecem a certas restrições no domínio da frequência usando o algoritmo Parks-McClellan . No entanto, não está claro imediatamente como impor restrições no domínio do tempo; em particular, estou interessado em gerar filtros Nyquist. Portanto, se estou superamostrando por um fator de N, quero que o filtro tenha cruzamentos de zero em kN, para um número inteiro diferente de zero k(isso garante que as amostras de entrada para meu interpolador apareçam na sequência de saída).

Eu vi Harris ¹ falar sobre uma técnica para projetar filtros de meia banda, ou seja, o caso especial em que N=2. Existe uma solução geral para isso? (Eu sei que podemos projetar filtros facilmente com o método window, mas isso não nos dá o mesmo controle.)

_{[1] Processamento de sinais multirados para sistemas de comunicação , pp. 208-209}

Um método de design, embora limitado a potências de dois, seria começar com um filtro de meia banda, inserir zeros um no outro (criar uma réplica espectral) e depois envolvê-lo com um segundo filtro de meia banda com uma banda de transição mais ampla. Repita o processo até atingir a potência necessária de 2.

Aqui está um exemplo que cria um filtro passa-baixo com Fc = fs / 8 e zero cruzamentos a cada 4 amostras:

b0=remez(34,[0 .45 .55 1],[1 1 0 0])';
b1=remez(6,[0 .25 .75 1],[1 1 0 0])';
b0up = zeros(1,2*length(b0)-1);
b0up(1:2:end) = b0;
B0up=freqz(b0up);
b2 = conv(b0up,b1);  % length = 34*2+1 + 6 = 75 coefficients

Um método para obter as passagens de zero desejadas é fazer um design híbrido.

Comece com um filtro de meia banda Parks-McLellan / Remez com o mesmo peso da banda passante e da banda parada. Por ser um filtro de meia banda , ele terá zeros em amostras alternativas. Você pode interpolar o domínio do tempo com sin (x) / x com zero-stuffing no domínio da frequência.

Exemplo: criando um filtro passa baixo fs / 12 com cruzamentos zero a cada 6 amostras.

% prototype Remez filter 
taps=18; 
b = remez(taps,[0 .4 .6 1],[1 1 0 0])';  
% force halfband condition of zeros at every other sample
b(2:2:end)=0;  b(taps/2+1)=.5; 

% zero pad the time domain to give the Gibbs ripple some deadspace
B=fft(b,4*(taps+1) ); 
% split the frequency domain into two halves, split the Nyquist bin
Blo = [ B(1:length(B)/2) 0.5*B(length(B)/2+1) ]; 
Bhi = [ 0.5*B(length(B)/2+1) B(length(B)/2+2:length(B))  ]; 

% insert padding at pi to increase size 3x
Bpad = [ Blo zeros(1,3*length(B)-length(Blo)-length(Bhi) ) Bhi];  
bint = real( ifft(Bpad) ); % this has zeros every 6 samples

O filtro resultante é próximo, mas não tão bom quanto, do protótipo em termos de ondulação de banda de parada / banda de passagem. A interpolação sin (x) / x introduz algum toque de baixo nível. Pode ser necessário projetar um pouco o filtro do protótipo para obter o nível de atenuação necessário no filtro interpolado.