Como derivar o preditor de filtro Kalman estacionário?

Em seu capítulo sobre filtros Kalman, meu livro de DSP afirma, aparentemente do nada, que o filtro estacionário Kalman para um sistema

{\begin{cases} x (t + 1) & = UMA x (t) + W (t) \\ y (t) & = C x (t) + v (t) \end{cases}

$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$

tem o preditor

\hat{x} (t + 1 | t) = (UMA - UMA \bar{K} C) \hat{x} (t | t - 1) + UMA \bar{K} y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$

covariância vetorial de estado estacionário e ganho de Kalman

\bar{P} = UMA \bar{P} {UMA}^{T} - UMA \bar{P} C^{T} (C \bar{P} C^{T} + R)^{- 1} C \bar{P} {UMA}^{T} + Q

$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$

\bar{K} = \bar{P} C^{T} (C \bar{P} C^{T} + R)^{- 1}

$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$

onde e denotam as covariâncias do ruído de entrada e do ruído de medição , respectivamente. $Q$ $R$ $w$ $v$

Não vejo como chegar a isso a partir do preditor de variação mínima. Alguém poderia me explicar ou me indicar um recurso que deriva a expressão? Este é o filtro de variação mínima de variação de tempo, que posso derivar:

\hat{x} (t + 1 | t) = (UMA - K (t) C) \hat{x} (t | t - 1) + K (t) y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$

P (t + 1 | t) = UMA (P (t | t - 1) - P (t | t - 1) C^{T} (C P (t | t - 1) C^{T} + R)^{- 1} C P (t | t - 1)) {UMA}^{T} + Q

$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$

K (t) = UMA P (t | t - 1) C^{T} (C P (t | t - 1) C^{T} + R)^{- 1}

$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$

Não tenho certeza de como ir daqui para o filtro estacionário acima.

Atualização: Vejo que a substituição de e no filtro de variação de tempo resulta em o filtro estacionário, mas por que multiplicar com ? Isso é apenas um sintoma de uma escolha infeliz de notação, significando que ou realmente não indicam o ganho de Kalman? $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ $K(t)=A\bar{K}$ $A$ $K$ $\bar{K}$

kalman-filters

— Andreas
fonte

Não, não é possível "ver" o preditor a partir das equações do sistema. Eu acho que seria melhor se você ler um livro de texto sobre os filtros Kalman, em vez de pedir que a derivemos para você (o que seria apenas regurgitar algo de um livro de texto). A filtragem ideal de Anderson e Moore pode ser um bom ponto de partida. É derivado no capítulo 5, se bem me lembro.

— Lorem Ipsum

@yoda: Obrigado. Minha pergunta era se alguém poderia me indicar um recurso melhor do que o livro recomendado pelo meu curso, então essa é uma resposta.

— Andreas

@yoda: A propósito, no caso de eu não ter certeza: não estou pedindo uma derivação do sistema de espaço de estados, mas da variação mínima do filtro Kalman. Atualizei a pergunta para deixar mais claro que posso derivar um filtro Kalman invariante no tempo, mas não o estacionário.

— Andreas

De qual texto você está obtendo o texto acima? Se alguém tiver acesso a ele, pode ser útil para que possamos ver o contexto completo.

— Jason R

Suas derivações estão corretas.

$\bar P = P(t|t-1)$ $K(t) = A \bar K$

Esta é a sua confusão:

$t|t-1$
Como isso pode ser "estacionário" quando sua derivação mostra que está variando o tempo?

Má escolha de notação por parte do livro

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$ $\bar P$

Incompreensão da palavra "estacionária".

$P$ $K$ $\bar P$ $\bar K$

Valores anteriores de si mesmos
$A$ $C$ $A$ $C$
$Q$ $R$

$K$ $P$ $y$

Conclusão:

As equações de "variação do tempo" derivadas são equivalentes às do livro. Além disso, as diferenças notacionais, houve um pequeno mal-entendido da sua parte em relação ao que muda e o que não muda.

— ssk08
fonte

Não me lembro qual era o problema quando fiz a pergunta, mas agora faz sentido. Obrigado!

— Andreas

Eu não entendo bem isso. Como seriam então as equações para um filtro Kalman não estacionário?

— Sandu Ursu