Variável aleatória uniforme e discreta (?), Levando todos os valores racionais em um intervalo fechado

Eu só tive um ataque de pânico (intelectual).

• Uma variável aleatória contínua que segue um uniforme em um intervalo fechado : um conceito estatístico confortavelmente familiar. $U(a,b)$
• Um uniforme contínuo rv com suporte sobre os reais estendidos (metade ou todo): não um rv adequado, mas um conceito bayesiano básico para um anterior inadequado, útil e aplicável.
• Um uniforme discreto com um número finito de valores: vamos lançar um domo geodésico, não é grande coisa.

Mas e quanto a uma função que tem como domínio todos os racionais incluídos em um intervalo fechado com limites de número inteiro (comece com $[0,1]$ se desejar)? E queremos usá-lo em uma estrutura probabilística, exigindo que cada valor possível tenha igual probabilidade com todos os outros?

O número de valores possíveis é infinitamente contável (o que caracteriza muitas distribuições discretas), mas como expressar a probabilidade de um único valor, uma vez que queremos probabilidades iguais?

Podemos dizer-mostrar-provar que tal entidade é (não é) uma variável aleatória?

Se não, isso é outra encarnação (talvez já bem conhecida) de um "anterior impróprio"?

É possível que essa entidade seja, em algum sentido bem definido, ainda que especial, "equivalente" a um rv uniforme contínuo? Ou acabei de cometer um pecado cardinal?

Parece que o fato de o domínio ser um intervalo fechado não me deixa ir. As coisas limitadas são geralmente administráveis.

As perguntas são muitas, a fim de serem indicativas do turbilhão interno - não estou pedindo respostas para cada uma delas.

A qualquer momento que eu tiver alguma ideia, atualizarei.

ATUALIZAÇÃO: a presente questão acaba de adquirir uma sequência construtivista aqui.

Essa "variável aleatória" é semelhante à idéia de ter um plano anterior em toda a linha real (seu segundo exemplo).

Para mostrar que não pode haver uma variável aleatória de modo a que P ( X = Q ) = c para todos q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] e constante c , usamos o σ propriedade -additive de variáveis aleatórias: a união de contáveis eventos disjuntos têm probabilidade igual à (possivelmente infinita) soma das probabilidades dos eventos. Então, se c = $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , a probabilidade , pois é a soma de muitos zeros. Se c > 0 , então P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . No entanto, uma variável aleatória apropriada que recebe valores em Q ∩ [ 0 , 1 ] deve ser tal que P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , portanto, não existe tal variável aleatória.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

A chave aqui, como você já deve saber, é que, se o espaço for composto por muitos pontos finitos, podemos usar e não teremos nenhum problema com a soma. Se o espaço tiver incontáveis ​​pontos, você poderá ter c = 0 e a aditivo σ não é violada ao integrar no espaço, porque é uma declaração sobre coisas contáveis . No entanto, você está enfrentando problemas quando deseja uma distribuição uniforme em um conjunto infinitamente contável.$c>0$$c=0$$\sigma$

No contexto de um Bayesian antes, porém, você pode, naturalmente, apenas dizer que para todos q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] , se você estiver disposto a usar o anterior imprópria.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Um fato mais positivo é o seguinte.
Se você abandonar o requisito de que a medida de probabilidade seja contável aditiva, e apenas exigir, em vez disso, que ela seja finitamente aditiva (apenas para o bem desta pergunta), para os números racionais a resposta será "sim".
Os números racionais são um grupo aditivo uma vez que pode-se adicionar dois números racionais, há um elemento neutro, zero, e qualquer tem um aditivo inversa - z ∈ Q . Agora, pode-se equipar os números racionais com a topologia discreta para que eles sejam um grupo discreto . (Isso é importante porque em outros contextos é mais conveniente não fazer isso e colocar outra topologia neles.)$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$

vistos como um grupo discreto; eles são até um grupo discreto contável, porque existem apenas muitos números racionais.
$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$ for all $z\in\mathbb{Q}$.
If you seek a random variable instead of a probability measure, then just consider the identity function on the probability space $(\mathbb{Q}, \mu)$. This gives such a required random variable.
Therefore, if you relax your definition of probability measure a bit, you end up with a positive answer for the rational numbers.
Perhaps, the existence of $\mu$ seems a bit counter-intuitive. One can get a better idea of $\mu$ by taking into account that a direct consequence of the translation-invariance is that the measure of all rational numbers whose floor is even, is one half; also, the measure of those with odd floor is one half, and so on.
That measure $\mu$ that we just showed to exist, also necessarily vanishes on all bounded subsets (as one can show with a similar argument), in particular on the unit interval.
Therefore, $\mu$ does not immediately give an answer for the rational numbers in the unit interval. One would have thought that the answer is easier to give for the rational numbers in the unit interval instead of all rational numbers, but it seems to be the other way around.
(However, it also seems that one can cook up a probability measure on the rational numbers in the unit interval with similar properties, but the answer would then require a more precise definition of "uniformity" - maybe something along the lines of "translation-invariant whenever translation does not lead outside the unit interval".)
UPDATE: You immediately obtain a measure on the unit interval rationals that is uniform in that sense, by considering the push-forward measure of the one on the rationals, that we constructed, along the map from the rationals to the unit interval rationals that maps each rational to its fractional part.
Therefore, after relaxing the requirement to finite additivity, you obtain such measures in both cases you mentioned.