Por que lm () de R retorna estimativas de coeficientes diferentes das do meu livro?

fundo

Estou tentando entender o primeiro exemplo de um curso sobre montagem de modelos (então isso pode parecer ridiculamente simples). Fiz os cálculos manualmente e eles correspondem ao exemplo, mas quando os repito em R, os coeficientes do modelo estão desativados. Eu pensei que a diferença pode ser devido ao livro didático usar variação populacional ( ), enquanto R pode estar usando variação amostral ( ), mas não consigo ver onde elas são usadas nos cálculos. Por exemplo, se usar em algum lugar, a seção de ajuda nas notas:$\sigma^2$$S^2$lm()var()var()

Utiliza-se o denominador n - 1, que fornece um estimador imparcial da (co) variância para as observações iid.

Eu olhei para o código para ambos lm()e lm.fit()e nem utilizo var(), mas lm.fit()passa esses dados para o código C compilado ( z <- .Call(C_Cdqrls, x, y, tol, FALSE)) ao qual não tenho acesso.

Questão

Alguém pode explicar por que R está dando resultados diferentes? Mesmo se houver uma diferença no uso da amostra versus variação populacional, por que as estimativas do coeficiente diferem?

Dados

Ajuste uma linha para prever o tamanho do sapato da série na escola.

# model data
mod.dat <- read.table(
    text = 'grade shoe
                1    1
                2    5
                4    9'
    , header = T);

# mean
mod.mu  <- mean(mod.dat$shoe);
# variability 
mod.var <- sum((mod.dat$shoe - mod.mu)^2)

# model coefficients from textbook
mod.m  <- 8/3;
mod.b  <- -1;

# predicted values  ( 1.666667 4.333333 9.666667 )
mod.man.pred       <- mod.dat$grade * mod.m + mod.b;
# residuals         ( -0.6666667  0.6666667 -0.6666667 )
mod.man.resid      <- (mod.dat$shoe - mod.man.pred)
# residual variance ( 1.333333 )
mod.man.unexpl.var <- sum(mod.man.resid^2);
# r^2               ( 0.9583333 )
mod.man.expl.var   <- 1 - mod.man.unexpl.var / mod.var;

# but lm() gives different results:
summary(lm(shoe ~ grade, data = mod.dat))

Call:
lm(formula = shoe ~ grade, data = mod.dat)

Residuals:
      1       2       3 
-0.5714  0.8571 -0.2857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  -1.0000     1.3093  -0.764    0.585
grade         2.5714     0.4949   5.196    0.121

Residual standard error: 1.069 on 1 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9643,    Adjusted R-squared:  0.9286 
F-statistic:    27 on 1 and 1 DF,  p-value: 0.121

Editar

Como Ben Bolker mostrou, às vezes parece que os professores cometem erros. Parece que os cálculos de R estão corretos. Moral da história: não acredite em algo apenas porque um professor diz que é verdade. Verifique você mesmo!

Parece que o autor cometeu um erro matemático em algum lugar.

Se você expandir o desvio da soma dos quadrados

S = b 2 + 2 b m + m 2 + 1 - 2 b - 2 m + b 2 + 4

que reduz para que é igual à expressão do autor, exceto o termo constante, que não importa de qualquer maneira).

Agora precisamos tentar minimizar isso definindo os derivados de com respeito à e a zero e resolvendo o sistema. $S$$b$$m$

Resolver

R diz que este é realmente 2,571429 ...

Baseado neste link, isso parece ser de um curso Coursera ...? Talvez tenha havido uma transcrição incorreta dos dados em algum lugar?

A outra maneira independente de fazer esse cálculo é saber que a inclinação de regressão estimada é igual à soma dos produtos cruzados ( ) dividido pela soma dos quadrados ( ).$\sum (y-\bar y) (x-\bar x)$$\sum (x-\bar x)^2$

g <- c(1,2,4)
g0 <- g - mean(g)
s <- c(1,5,9)
s0 <- s- mean(s)
sum(g0*s0)/(sum(g0^2))
## [1] 2.571429

Se você pensa que se o tamanho do sapato fosse vez de , a inclinação chegaria a 8/3 ...$\{1,11/3,9\}$$\{1,5,9\}$