O pdf, o pmf e o cdf contêm as mesmas informações?

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Para mim, o pdf dá toda a probabilidade a um certo ponto (basicamente a área abaixo da probabilidade).

O pmf fornece a probabilidade de um certo ponto.

O cdf fornece a probabilidade sob um certo ponto.

Então, para mim, o pdf e o cdf têm a mesma informação, mas o pmf não, porque fornece a probabilidade de um ponto xna distribuição.

— Kare
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Onde é feita uma distinção entre função de probabilidade e densidade *, o pmf se aplica apenas a variáveis aleatórias discretas, enquanto o pdf se aplica a variáveis aleatórias contínuas.

* abordagens formais podem abranger ambos e usar um único termo para eles

O cdf se aplica a quaisquer variáveis aleatórias, incluindo aquelas que não possuem pdf nem pmf.

insira a descrição da imagem aqui

(Uma distribuição mista não é o único caso de uma distribuição que não possui um pdf ou pmf, mas é uma situação razoavelmente comum - por exemplo, considere a quantidade de chuva em um dia ou a quantia paga em reivindicações em uma apólice de seguro de propriedade, que pode ser modelada por uma distribuição contínua inflada a zero)

O cdf para uma variável aleatória fornece $X$ $P(X\leq x)$

O pmf para uma variável aleatória discreta fornece . $X$ $P(X=x)$

O pdf em si não fornece probabilidades , mas probabilidades relativas; distribuições contínuas não têm probabilidades pontuais. Para obter probabilidades dos PDFs, você precisa integrar durante algum intervalo - ou fazer uma diferença de dois valores de cdf.

É difícil responder à pergunta 'eles contêm a mesma informação' porque depende do que você quer dizer. Você pode ir de pdf para cdf (via integração), e de pmf para cdf (via somatório) e de cdf para pdf (via diferenciação) e de cdf para pmf (via diferenciação), portanto, se existir um pmf ou pdf, contém as mesmas informações que o cdf.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Glen, você poderia ajudar fornecendo algumas referências nas quais eu poderia ler sobre "pdf dando probabilidades relativas"? É muito interessante e não me lembro de ter visto isso nos meus livros. Obrigado.

— Alecos Papadopoulos

@Alecos É simplesmente uma explicação (talvez mal formulada) do fato de que, enquanto não é uma probabilidade, uma vez que é a probabilidade de estar em , então pode ser pensada como a razão da probabilidade de que uma variável com densidade esteja a uma distância muito pequena de da proporção em que uma variável com densidade está no mesmo intervalo. Nesse sentido, expressa "probabilidade relativa".

f (x)

$f(x)$

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

— Glen_b -Reinstala Monica

Entendo. Certamente é válido como uma aproximação da razão de probabilidades e certamente presente em funções de densidade empírica, onde as coisas são discretas por necessidade.

— Alecos Papadopoulos

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Os PMFs estão associados a variáveis aleatórias discretas, PDFs com variáveis aleatórias contínuas. Para qualquer tipo de variável aleatória ou aleatória, o CDF sempre existe (e é único), definido como Agora, dependendo do conjunto de suporte da variável aleatória , a densidade (ou função de massa) não precisa existir. (Considere o conjunto de cantores e a função de cantor , o conjunto é definido recursivamente removendo o centro 1/3 do intervalo da unidade e repetindo o procedimento para os intervalos (0, 1/3) e (2/3, 1), etc. A função é definida como , se estiver no conjunto Cantor, e o maior limite inferior no conjunto Cantor, se

F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

C (x) = x

$C(x) = x$

x

$x$

x

$x$ não é um membro.) A Função Cantor é uma função de distribuição perfeitamente boa, se você aplicar se e se . Mas esse cdf não tem densidade: é contínuo em todos os lugares, mas sua derivada é 0 quase em todo lugar. Sem densidade em relação a qualquer medida útil.

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

Portanto, a resposta para sua pergunta é: se existe uma função de densidade ou massa, é um derivado do CDF com relação a alguma medida. Nesse sentido, eles carregam a "mesma informação". MAS, PDFs e PMFs não precisam existir. CDFs devem existir.

— Dennis
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2

Dennis, você pode esclarecer o que quer dizer com a frase " Sem densidade em relação a qualquer medida ?" Certamente tem uma densidade (uniforme!) Em relação a si mesma.

— cardeal

@ cardinal: Vou tentar, mas não sei se fará sentido, a menos que você tenha estudado alguma análise real. Se você observar alguns livros antigos sobre estatística matemática (por exemplo, Estatística Matemática de Freund ), verá os PMFs chamados de "densidades". O nome "densidade" é justificado pela medida de probabilidade no espaço mensurável é a base do CDF (consulte o comentário de Joel). A densidade é o derivado de Radon-Nikodym de em relação a alguma medida (geralmente medida de Lesbesgue ou medida de contagem). Nesse caso, não possui derivado RN.

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

μ

$\mu$

C (x)

$C(x)$

— Dennis

3

@ cardinal (continuação): A medida de probabilidade é uniforme no conjunto Cantor, mas essa é uma besta tão estranha que nem tenho certeza de como é a álgebra. Talvez eu devesse ter dito: "Sem densidade em relação a qualquer medida útil".

σ

$\sigma$

— Dennis

2

As outras respostas apontam para o fato de que os CDFs são fundamentais e devem existir, enquanto PDFs e PMFs não são e nem necessariamente existem.

$S^1$

Parece-me que a resposta é que a função fundamental é a medida de probabilidade , que mapeia cada subconjunto (considerado) do espaço amostral para uma probabilidade. Então, quando existem, o CDF, PDF e PMF surgem da medida de probabilidade.

— Joel Bosveld
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Do jeito que eu vi, a maioria dos livros de texto define "variável aleatória" como um mapeamento de um espaço de amostra para os números reais. Essencialmente, uma "variável aleatória" tem valor real.

— 11114 Neil G

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(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

Ω

$\Omega$

μ

$\mu$

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$