Como posso explicar a covariância espacial em um modelo linear?

fundo

Eu tenho dados de um estudo de campo em que existem quatro níveis de tratamento e seis repetições em cada um dos dois blocos. (4x6x2 = 48 observações)

Os blocos estão a cerca de 1,6 km de distância e, dentro dos blocos, há uma grade de parcelas de 42, 2m x 4m e uma passarela de 1m de largura; meu estudo utilizou apenas 24 parcelas em cada bloco.

Eu gostaria de avaliar avaliar covariância espacial.

Aqui está um exemplo de análise usando os dados de um único bloco, sem considerar a covariância espacial. No conjunto de dados, ploté o ID do gráfico, xé o local x, e yo local y de cada gráfico com o gráfico 1 centrado em 0, 0. levelé o nível de tratamento e responsea variável de resposta.

layout <- structure(list(plot = c(1L, 3L, 5L, 7L, 8L, 11L, 12L, 15L, 16L, 
17L, 18L, 22L, 23L, 26L, 28L, 30L, 31L, 32L, 35L, 36L, 37L, 39L, 
40L, 42L), level = c(0L, 10L, 1L, 4L, 10L, 0L, 4L, 10L, 0L, 4L, 
0L, 1L, 0L, 10L, 1L, 10L, 4L, 4L, 1L, 1L, 1L, 0L, 10L, 4L), response = c(5.93, 
5.16, 5.42, 5.11, 5.46, 5.44, 5.78, 5.44, 5.15, 5.16, 5.17, 5.82, 
5.75, 4.48, 5.25, 5.49, 4.74, 4.09, 5.93, 5.91, 5.15, 4.5, 4.82, 
5.84), x = c(0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 12, 
15, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 18), y = c(0, 10, 20, 0, 5, 20, 25, 
10, 15, 20, 25, 15, 20, 0, 15, 25, 0, 5, 20, 25, 0, 10, 20, 
25)), .Names = c("plot", "level", "response", "x", "y"), row.names = c(NA, 
-24L), class = "data.frame")

model <- lm(response ~ level, data = layout)      
summary(model)

Questões

1. Como posso calcular uma matriz de covariância e incluí-la na minha regressão?
2. Os blocos são muito diferentes e existem fortes interações de tratamento *. É apropriado analisá-los separadamente?

1) Você pode modelar correlação espacial com a nlmebiblioteca; existem vários modelos possíveis que você pode escolher. Veja as páginas 260-266 de Pinheiro / Bates.

Um bom primeiro passo é fazer um variograma para ver como a correlação depende da distância.

library(nlme)
m0 <- gls(response ~ level, data = layout)  
plot(Variogram(m0, form=~x+y))

Aqui, o semivariograma amostral aumenta com a distância, indicando que as observações são de fato espacialmente correlacionadas.

Uma opção para a estrutura de correlação é uma estrutura esférica; que podem ser modelados da seguinte maneira.

m1 <- update(m0, corr=corSpher(c(15, 0.25), form=~x+y, nugget=TRUE))

Esse modelo parece se encaixar melhor que o modelo sem estrutura de correlação, embora seja inteiramente possível que ele também possa ser aprimorado com uma das outras estruturas de correlação possíveis.

> anova(m0, m1)
   Model df     AIC      BIC    logLik   Test  L.Ratio p-value
m0     1  3 46.5297 49.80283 -20.26485                        
m1     2  5 43.3244 48.77961 -16.66220 1 vs 2 7.205301  0.0273

2) Você também pode tentar incluir xe ydiretamente no modelo; isso pode ser apropriado se o padrão de correlação depender mais do que apenas a distância. No seu caso (olhando as fotos de sesqu), parece que, para esse bloco, você pode ter um padrão diagonal.

Aqui, estou atualizando o modelo original em vez de m0, porque estou alterando apenas os efeitos fixos; portanto, os modelos devem ser ajustados usando a máxima probabilidade.

> model2 <- update(model, .~.+x*y)
> anova(model, model2)
Analysis of Variance Table

Model 1: response ~ level
Model 2: response ~ level + x + y + x:y
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
1     22 5.3809                                
2     19 2.7268  3    2.6541 6.1646 0.004168 **

Para comparar todos os três modelos, você precisará ajustá-los a todos glse ao método de máxima verossimilhança, em vez do método padrão de REML.

> m0b <- update(m0, method="ML")
> m1b <- update(m1, method="ML")
> m2b <- update(m0b, .~x*y)
> anova(m0b, m1b, m2b, test=FALSE)
    Model df      AIC      BIC     logLik
m0b     1  3 38.22422 41.75838 -16.112112
m1b     2  5 35.88922 41.77949 -12.944610
m2b     3  5 29.09821 34.98847  -9.549103

Lembre-se de que, especialmente com o seu conhecimento do estudo, você poderá criar um modelo melhor do que qualquer um deles. Ou seja, o modelo m2bnão deve necessariamente ser considerado o melhor ainda.

Nota: Esses cálculos foram realizados após a alteração do valor x do gráfico 37 para 0.

1) Qual é a sua variável de explicação espacial? Parece que o plano x * y seria um modelo ruim para o efeito espacial.

i=c(1,3,5,7,8,11,14,15,16,17,18,22,23,25,28,30,31,32,35,36,39,39,41,42)
l=rep(NA,42)[i];l[i]=level
r=rep(NA,42)[i];r[i]=response
image(t(matrix(-l,6)));title("treatment")
image(t(matrix(-r,6)));title("response")

2) Visto que os blocos estão separados por uma milha e você espera ver efeitos por meros 30 metros, eu diria que é inteiramente apropriado analisá-los separadamente.