Como gerar dados de sobrevivência com covariáveis dependentes do tempo usando R

Quero gerar tempo de sobrevivência a partir de um modelo de riscos proporcionais de Cox que contenha covariáveis dependentes do tempo. O modelo é

$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i + \alpha m_{i}(t))$

onde é gerado a partir do binômio (1,0,5) e . $X_i$ $m_{i}(t)=\beta_0 + \beta_1 X_{i} + \beta_2 X_{i} t$

Os valores dos parâmetros verdadeiros são usados como $\gamma = 1.5, \beta_0 = 0, \beta_1 = -1, \beta_2 = -1.5, h_0(t) = 1$

Para covariável independente do tempo (ou seja, eu seguinte maneira $h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i)$

#For time independent case
# h_0(t) = 1
gamma <- -1
u <- runif(n=100,min=0,max=1)
Xi <- rbinom(n=100,size=1,prob=0.5)
T <- -log(u)/exp(gamma*Xi)

Alguém pode me ajudar a gerar dados de sobrevivência com covariáveis variáveis no tempo.

r survival cox-model time-varying-covariate

— Sheikh
fonte

Que tipo de função é ? É contínuo? Constante por partes? Um algoritmo diferente provavelmente será necessário de acordo.

m_{i} (t)

$m_i(t)$

— Tristan

m_{i} (t)

$m_{i}(t)$ é uma covariável dependente do tempo; por simplicidade, você pode considerar um relacionamento proporcional com o tempo.

— Sheikh

Eu editei a minha pergunta, considerando uma função de

m_{i} (t)

$m_i(t)$

— Sheikh

como você executou o código R a partir da equação acima? significa que a cada morte no mesmo id, o programa precisa descobrir quais são as covariáveis para todos que são x iguais a 1 ou 0. se todas iguais a 1 somam o risco. depois disso, calcule a função de sobrevivência. permite escolher a linha certa para cada assunto.

— Qas Amell

Como Z. Zhang aponta, dê uma olhada neste artigo . Além disso, você pode ver a minha resposta à sua pergunta onde eu mostrar como simular para aqueles no grupo em R.

X_{i} = 1

$X_i = 1$

— Benjamin Christoffersen

OK no seu código R, você está assumindo uma distribuição exponencial (risco constante) para o seu risco de linha de base. Suas funções de risco são, portanto:

h (t ∣ X_{i}) = {\begin{cases} \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} t)) & if X_{i} = 1 . \end{cases}

$h\left(t \mid X_i\right) = \begin{cases} \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i = 0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 t\right)\right)} & \text{if $X_i = 1$.} \end{cases}$

Em seguida, os integramos em relação a para obter a função de risco cumulativo: $t$

\begin{aligned} Λ (t ∣ X_{i}) & = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \int_{0}^{t} \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} τ)) d τ & if X_{i} = 1 . \end{cases} \\ = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \Lambda\left(t\mid X_i\right) &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \int_0^t{\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 \tau\right)\right)} \,d\tau} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \\ &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right) & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

Estes então nos dão as funções de sobrevivência:

\begin{aligned} S (t) & = \exp (- Λ (t)) \\ = {\begin{cases} \exp (- t \exp (α β_{0})) & if X_{i} = 0, \\ \exp (- \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1)) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} S\left(t\right) &= \exp{\left(-\Lambda\left(t\right)\right)} \\ &= \begin{cases} \exp{\left(-t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)}\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(-\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right)\right)} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

Em seguida, você gera amostrando e , substituindo por e reorganizando a fórmula apropriada (com base em ) para simular . Essa deve ser uma álgebra direta. Você pode codificar em R, mas informe-me por comentário se precisar de mais ajuda. $X_i$ $U\sim\mathrm{Uniform\left(0,1\right)}$ $U$ $S\left(t\right)$ $X_i$ $t$

— Tristan
fonte

Muito obrigado pela álgebra. Codificarei o código em R e entrarei em contato com você para obter mais ajuda.

— Sheikh

que resposta perfeita, @tristan. Eu tive uma pergunta semelhante e encontrei sua resposta. Simplesmente fantástico.

— Sam

@ Tristan Estou um pouco confuso sobre o significado de alfa na primeira equação que você dá onde Xi = 0. Você se importaria em expandir um pouco isso? Obrigado.

— Statwonk

@Statwonk segue-se a partir da equação taxa de risco fornecido pelo seu autor

— tristan

Desculpe, mas não tenho certeza de como usar a função S (t) para simular os horários. Eu acho que você deve calcular S ^ {- 1} e essa função não é trivial para o caso X_i = 1.

— Pmc

Como gerar dados de sobrevivência com covariáveis ​​dependentes do tempo usando R

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