Como interpretar coeficientes em uma regressão de Poisson?

Como interpretar os principais efeitos (coeficientes do fator codificado por dummy) em uma regressão de Poisson?

Suponha o seguinte exemplo:

treatment     <- factor(rep(c(1, 2), c(43, 41)), 
                        levels = c(1, 2),
                        labels = c("placebo", "treated"))
improved      <- factor(rep(c(1, 2, 3, 1, 2, 3), c(29, 7, 7, 13, 7, 21)),
                        levels = c(1, 2, 3),
                        labels = c("none", "some", "marked"))    
numberofdrugs <- rpois(84, 10) + 1    
healthvalue   <- rpois(84, 5)   
y             <- data.frame(healthvalue, numberofdrugs, treatment, improved)
test          <- glm(healthvalue~numberofdrugs+treatment+improved, y, family=poisson)
summary(test)

A saída é:

Coefficients:
                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)       1.88955    0.19243   9.819   <2e-16 ***
numberofdrugs    -0.02303    0.01624  -1.418    0.156    
treatmenttreated -0.01271    0.10861  -0.117    0.907   MAIN EFFECT  
improvedsome     -0.13541    0.14674  -0.923    0.356   MAIN EFFECT 
improvedmarke    -0.10839    0.12212  -0.888    0.375   MAIN EFFECT 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Eu sei que a taxa de incidentes numberofdrugsé de exp(-0.023)=0.977. Mas como interpreto os principais efeitos das variáveis ​​dummy?

O numberofdrugscoeficiente exponencial é o termo multiplicativo a ser usado para calcular a estimativa healthvaluequando numberofdrugsaumenta em 1 unidade. No caso de variáveis ​​categóricas (fator), o coeficiente exponenciado é o termo multiplicativo relativo ao nível base (primeiro fator) dessa variável (já que R usa os contrastes de tratamento por padrão). Essa exp(Intercept)é a taxa de linha de base e todas as outras estimativas seriam relativas a ela.

No seu exemplo, o estimado healthvaluepara alguém com 2drogas "placebo"e improvement=="none"seria (usando adição dentro de exp como o equivalente à multiplicação):

 exp( 1.88955 + 2*-0.02303 + 0 + 0 )
 [1] 6.318552

Enquanto alguém que usa 4drogas ,, "treated"e "some"melhoria teria uma estimativa healthvaluede

exp( 1.88955 + 4*-0.02303 + -0.01271 + -0.13541)
[1] 5.203388

ADENDO: Isto é o que significa ser "aditivo na escala logarítmica". "Aditivo na escala log-odds" foi a frase que minha professora, Barbara McKnight, usou ao enfatizar a necessidade de usar todos os coeficientes de termos aplicados na regressão logística ao fazer qualquer tipo de previsão. Você adiciona primeiro todos os coeficientes vezes os valores de covariáveis ​​e, em seguida, exponencia. A maneira de retornar coeficientes de objetos de regressão em R é geralmente usar a coef()função extrator (feita com uma realização aleatória diferente abaixo):

 coef(test)
  #   (Intercept)    numberofdrugs treatmenttreated     improvedsome   improvedmarked 
  #   1.18561313       0.03272109       0.05544510      -0.09295549       0.06248684 

Portanto, o cálculo da estimativa para um sujeito com 4drogas "treated", com "some"melhoria seria:

 exp( sum( coef(test)[ c(1,2,3,4) ]* c(1,4,1,1) ) ) 
 [1] 3.592999

E o preditor linear para esse caso deve ser a soma de:

 coef(test)[c(1,2,3,4)]*c(1,4,1,1) 
 #    (Intercept)    numberofdrugs treatmenttreated     improvedsome 
 #     1.18561313       0.13088438       0.05544510      -0.09295549

Esses princípios devem se aplicar a qualquer pacote de estatísticas que retorne uma tabela de coeficientes para o usuário. O método e os princípios são mais gerais do que podem parecer no meu uso de R.

Estou copiando os comentários esclarecedores selecionados, pois eles 'desaparecem' na exibição padrão:

P: Então você interpreta os coeficientes como proporções! Obrigado! - MarkDollar

A: Os coeficientes são os logaritmos naturais das proporções. - DWin

P2: Nesse caso, em uma regressão de poisson, os coeficientes exponenciados também são chamados de "odds ratio"? - oort

A2: Não. Se fosse regressão logística, eles seriam apenas na regressão de Poisson, onde o LHS é o número de eventos e o denominador implícito é o número em risco, então os coeficientes exponenciados são "taxas de taxa" ou "riscos relativos".