Toda matriz definida semi-positiva corresponde a uma matriz de covariância?

É sabido que uma matriz de covariância deve ser definida semi-positiva, no entanto, o inverso é verdadeiro?

Ou seja, toda matriz definida semi-positiva corresponde a uma matriz de covariância?

covariance matrix

— Jingjings
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Seguindo as definições de PD e PSD aqui , sim, acho que sim, já que podemos fazer isso por construção. Assumirei, por um argumento um pouco mais simples, que você quer dizer com matrizes com elementos reais, mas com as mudanças apropriadas, isso se estenderia a matrizes complexas.

Seja uma verdadeira matriz PSD; a partir da definição à qual vinculei, será simétrica. Qualquer verdadeiro simétrica definida matriz positiva pode ser escrita como . Isto pode ser feito por se com ortogonal e diagonal e como matriz de raízes quadradas de sábio componente . Portanto, não precisa ser de classificação completa. $A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Seja uma variável aleatória de vetor, de dimensão apropriada, com matriz de covariância (que é fácil de criar). $Z$ $I$

Em seguida, tem covariância matriz . $LZ$ $A$

[Pelo menos isso está em teoria. Na prática, haveria vários problemas numéricos para tratar se você desejasse bons resultados e - por causa dos problemas comuns no cálculo de ponto flutuante - você obteria apenas aproximadamente o que precisa; isto é, a variância da população de um computadorizada normalmente não seria exatamente . Mas esse tipo de coisa sempre é um problema quando chegamos a realmente calcular as coisas] $LZ$ $A$

— Glen_b -Reinstate Monica
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Embora seja verdade que uma decomposição é possível sem classificação completa, o algoritmo de Cholesky só funciona com regular . Portanto, sem classificação completa, não pode ser uma decomposição de Cholesky. Computacionalmente, pode-se fazer essa decomposição no caso singular por diagonalização. (Embora isto é muito mais caro)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch

@Horst: Por que seria triangular inferior?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— Ameba diz Reinstate Monica

@amoeba Embora se possa organizá-lo como está, ele não precisa ser triangular inferior para que o argumento funcione - é uma característica do Cholesky, mas não é necessário para que o resultado funcione.

— Glen_b -Reinstala Monica

@Glen Ser simétrico é uma condição necessária para ser PSD ou essa definição é uma de muitas?

— 114

@ 114 para a relação entre simétrico e PSD, consulte math.stackexchange.com/questions/516533/… #

— Frank Frank