Simulação envolvendo condicionamento na soma de variáveis ​​aleatórias

Eu estava lendo esta pergunta e pensei em simular a quantidade necessária. O problema é o seguinte: Se e são normais normais, o que é ? Então, eu quero simular . (para um valor escolhido de )B E ( A 2 | A + B ) E ( A 2 | A + B ) A + $A$$B$$E(A^2|A+B)$$E(A^2|A+B)$$A+B$

Eu tentei o seguinte código para conseguir isso:

n <- 1000000
x <- 1 # the sum of A and B

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)

sum_AB = A+B

estimate <- 1/sum(sum_AB==x) * sum( (A[sum_AB==x])^2 )

O problema é que quase sempre não há valor em sum_ABque correspondências x(entre simulações). Se eu escolher algum elemento sum_AB, geralmente é a única instância de seu valor no vetor.

Em geral, como lidar com esse problema e executar uma simulação precisa para encontrar uma expectativa do formulário fornecido? ( e podem não ser necessariamente normalmente distribuídos ou da mesma distribuição.)$A$$B$

Meu comentário no tópico mencionado sugere uma abordagem eficiente: porque e são conjuntamente normais com covariância zero, eles são independentes, de onde a simulação precisa apenas gerar (que tem média e variação ) e construa . Neste exemplo, a distribuição de é examinada por meio do histograma de valores simulados.$X=A+B$$Y=A-B$$Y$$0$$2$$A = (X+Y)/2$$A^2|(A+B=3)$$10^5$

x <- 3
y <- rnorm(1e5, 0, sqrt(2))
a <- (x+y)/2
hist(a^2)

A expectativa pode ser estimada como

mean(a^2)

A resposta deve estar próxima de .$11/4 = 2.75$

Uma maneira genérica de resolver esse problema é considerar a mudança de variáveis ​​de para . O Jacobiana deste transformar ser igual a um (1), a densidade de é Portanto, a densidade de condição de é com o termo de proporcionalidade sendo o inverso da densidade marginal de , . Como , uma transformação determinística, essa também é a densidade da junta de dada$(A,B)$$(A,A+B=S)$$(A,S)$

Você pode resolver esse problema usando amostras de inicialização. Por exemplo,

n <- 1000000

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)
AB <- cbind(A,B)

boots <- 100
bootstrap_data <- matrix(NA,nrow=boots*n,ncol=2)


for(i in 1:boots){
    index <- sample(1:n,n,replace=TRUE)
    bootstrap_data[(i*n-n+1):(i*n),] <- cbind(A[index],B[index]) 
}

sum_AB <- bootstrap_data[,1] + bootstrap_data[,2]
x <- sum_AB[sample(1:n,1)]

idx <- which(sum_AB == x)

estimate <- mean(bootstrap_data[idx,1]^2)

Executando este código, por exemplo, obtenho o seguinte

> estimate
[1] 0.7336328
> x
[1] 0.9890429

Portanto, quando então .$A+B=0.9890429$$E(A^2|A+B=0.9890429)=0.7336328$

Agora, para validar que essa deve ser a resposta, vamos executar o código do whuber em sua solução. Então, executando o código com x<-0.9890429resultados da seguinte maneira:

> x <- 0.9890429
> y <- rnorm(1e5, 0, sqrt(2))
> a <- (x+y)/2
> hist(a^2)
>
> mean(a^2)
[1] 0.745045

E, portanto, as duas soluções são muito próximas e coincidem uma com a outra. No entanto, minha abordagem para o problema deve permitir que você insira qualquer distribuição que desejar, em vez de confiar no fato de que os dados vieram de distribuições normais.

Uma segunda solução de força bruta, mais baseada no fato de que, quando a densidade é relativamente grande, você pode executar facilmente um cálculo de força bruta, é a seguinte

n <- 1000000

x <- 3  #The desired sum to condition on

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)
sum_AB <- A+B

epsilon <- .01
idx <- which(sum_AB > x-epsilon & sum_AB < x+epsilon)
estimate <- mean(A[idx]^2)

estimate

Executando este código, obtemos o seguinte

> estimate
[1] 2.757067

Assim, a execução do código para resulta em que concorda com a verdadeira solução.$A+B=3$$E(A^2|A+B=3)=2.757067$

parece-me que a questão se torna esta:

1. como simular (X, Y) condicional em X + Y = ke depois
2. use monte carlo para estimar UE (X, Y) para alguma função U (x, y)

vamos começar revisando a amostragem de importância :

$E V(Z_1) = \int V(z) f_1(z) = \int V(z) \frac{f_1(z)}{f_2(z)} f_2(z) = E V(Z_2)\frac{f_1(Z_2)}{f_2(Z_2)}$

onde os primeiros expectativas é em relação à variável aleatória com densidade e o segundo é um wrt com densidade .$Z_1$$f_1(z)$$Z_2$$f_2(z)$

Portanto, se você pode simular aleatoriamente 's de , faça uma estimativa usando ou alternativamente simule ' s de usando$z_i$$f_1$$\frac{1}{n} \sum_i V(z_i)$$z_i$$f_2$$\frac{1}{n} \sum_i V(z_i) \frac{f_1(z_i)}{f_2(z_i)}$

Agora, voltemos ao nosso caso e são distribuídos como (X, Y) na condição X + Y = k, ou seja, e deixe$U(x,y)=x^2$$(X,Y)$$\frac{f(x,y)}{\int_{x+y=k} f(x,y)}$$A = \int_{x+y=k} f(x,y)$

então agora o procedimento é:

1. gere cópias nid da densidade - e chame-as de$g(x)$$X_i$
2. Seja observe que a distribuição deste (X, Y) é , onde é função indicadora g ( x ) I ( x + y = k ) I ( $Y_i=k-X_i$$g(x)I(x+y=k)$$I()$
3. a estimativa é $$\frac{1}{n} \sum_i U(x_i,y_i) \frac{f(x_i,y_i)}{A g(x_i)}$$