Prova de desigualdade de Cantelli

Estou tentando provar a seguinte desigualdade:

EDIT: Quase imediatamente depois que postei essa pergunta, descobri que a desigualdade que estou sendo solicitada a provar se chama desigualdade de Cantelli. Quando escrevi isso, não percebi que essa desigualdade em particular tinha um nome. Encontrei várias provas no Google, então, estritamente, não preciso mais de uma solução. No entanto, estou mantendo essa questão porque nenhuma das provas que encontrei envolve invocar o fato de que , como foi originalmente pretendido. $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

Para , $t \geq 0$

$\mathbb{P}(X-E(X)\geq t)\leq \frac{V(X)}{V(X)+t^2}$

Nosso professor nos deu as seguintes "dicas" para resolver isso: "Primeiro resolva o problema assumindo e use o fato de que . " $E(X)=0$ $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$

EDIT: Para ser claro, na minha notação, se refere à função do indicador. $\mathbb{I}$

A primeira parte é bem simples. É basicamente uma variação da prova da desigualdade de Markov ou Chebychev. Fiz o seguinte:

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$

(Eu sei que, propriamente falando, devemos substituir com, digamos, e com ao avaliar uma integral. Para ser honesto, porém, acho que a notação / convenção a ser desnecessariamente confuso e não terrivelmente transparente, por isso estou mantendo minha notação mais informal.) $x$ $u$ $f(x)$ $f_x(u)$

Se assumirmos , o acima será simplificado para $E(X)=0$

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

Por uma questão de brevidade, vou pular algumas etapas, mas é fácil mostrar que

$V(X)\geq t^2 P(X>t)$ , ou melhor, . Como , podemos substituir o no lado esquerdo deste por . $P(X>t)\leq \frac{V(X)}{t^2}$ $E(X)=0$ $X$ $X-E(X)$

Aqui é onde estou tendo problemas para avançar. Eu não entendo como para usar o fato de que . Novamente, como , podemos substituir em por . Isso é equivalente a . Em seguida, podemos reescrever no denominador no lado direito da desigualdade como , que, uma vez que o termo do meio termo se desdobra, simplifica para . Mas também não vejo para onde posso ir daqui. Embora você possa reescrever isso como , o que pelo menos me dá o termo no lugar certo. $t=E(t-X)\leq E[(t-x)\mathbb{I}_{X<t}]$ $E(X)=0$ $t-E(X)$ $t$ $E(t-X)$ $t^2$ $[E(t-X)]^2$ $t^2-[E(X)]^2$ $t^2+V(X)-E(X^2)$ $V(X)+t^2$

Claramente, estou perdendo algo aqui relacionado a , mas, francamente, não tenho idéia do que fazer com esse termo. Entendo conceitualmente o que esse termo está me dizendo. Intuitivamente, o valor esperado de será menor que a mesma quantidade se for restrito a ser estritamente menor que ; isto é, o primeiro termo provavelmente será negativo, enquanto o último deve ser positivo. Mas não vejo como posso usar esse fato na prova. $E(t-X) \leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$ $t-X$ $X$ $t$

Tentei "distribuir" por dentro para simplificar ...

$E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]=E[t\mathbb{I}_{X<t} - X\mathbb{I}_{X<t}]=tP(X<t)-?$

Mas não tenho certeza de como avaliar . $E(X\mathbb{I}_{X<t}]$

Alguém tem uma ideia ou uma dica?

— Ryan Simmons
fonte

Veja esta resposta para uma prova de uma versão mais geral do que às vezes é chamado de desigualdade Chebyshev unilateral (ou desigualdade Chebyshev-Cantelli unilateral ou desigualdade Cantelli etc, dependendo do livro que você está lendo).

— Dilip Sarwate

Eu realmente gostaria que você não tivesse excluído essa outra pergunta. É muito melhor ter postado uma resposta para que outras pessoas possam se beneficiar das sugestões nos comentários e da resposta, e você poderá se beneficiar de outros comentários. Observe, por exemplo, que , portanto é 4 vezes maior do que precisa.

p (1 - p) \leq \frac{1}{4}

$p(1-p) \leq \frac{1}{4}$

1

$1$

— Glen_b -Reinstala Monica

integral (x (fx)) no intervalo (t, inf)

$Y=X-\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[Y]=0$ $\mathbb{Var}[Y]=\mathbb{Var}[X]=:\sigma^2=\mathbb{E}[Y^2]$

$t,u>0$

Pr (Y \geq t) = Pr (Y + u \geq t + u) \leq Pr ((Y + u)^{2} \geq (t + u)^{2})

$\Pr(Y\geq t) = \Pr(Y+u\geq t+u) \leq \Pr((Y+u)^2\geq (t+u)^2)$

\leq \frac{E [(Y + u)^{2}]}{(t + u)^{2}} = \frac{σ^{2} + u^{2}}{(t + u)^{2}} =: φ (u) .

$\leq \frac{\mathbb{E}[(Y+u)^2]}{(t+u)^2} = \frac{\sigma^2+u^2}{(t+u)^2}=:\varphi(u).$

φ^{'} (u) = 0

$\varphi'(u)=0$

u = σ^{2} / t

$u=\sigma^2/t$

Pr (X - E [X] \geq t) \leq \frac{σ^{2}}{σ^{2} + t^{2}} .

$\Pr(X-\mathbb{E}[X]\geq t) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}.$

— zen
fonte

Essa é, de fato, a abordagem correta, como descobri há quase um ano, mas esqueci de voltar e editar esta pergunta para incluir a resposta. Por alguma razão, o CrossValidated está me dando um erro quando tento aceitar isso como a resposta correta para dar crédito a você.

— Ryan Simmons