Que tipo de resíduos e a distância de Cook são usados ​​para GLM?

Alguém sabe qual é a fórmula para a distância de Cook? A fórmula de distância original de Cook usa resíduos estudados, mas por que R está usando std. Os resíduos de Pearson ao calcular o gráfico de distância de Cook para um GLM. Sei que resíduos estudantis não são definidos para GLMs, mas como é a fórmula para calcular a distância de Cook?

Suponha o seguinte exemplo:

numberofdrugs <- rcauchy(84, 10)
healthvalue <- rpois(84,75)
test <- glm(healthvalue ~ numberofdrugs, family=poisson)
plot(test, which=5) 

Qual é a fórmula para a distância de Cook? Em outras palavras, qual é a fórmula para calcular a linha tracejada vermelha? E de onde vem essa fórmula para resíduos padronizados de Pearson?

Se você der uma olhada no código (tipo simples plot.lm, sem parênteses ou edit(plot.lm)no prompt R), verá que as distâncias de Cook são definidas na linha 44, com a cooks.distance()função Para ver o que faz, digite stats:::cooks.distance.glmno prompt R. Lá você vê que é definido como

(res/(1 - hat))^2 * hat/(dispersion * p)

onde resestão os resíduos de Pearson (retornados pela influence()função), haté a matriz de chapéu , pé o número de parâmetros no modelo e dispersioné a dispersão considerada para o modelo atual (fixado em um para logística e regressão de Poisson, consulte help(glm)). Em suma, é calculado em função da alavancagem das observações e de seus resíduos padronizados. (Compare com stats:::cooks.distance.lm.)

Para uma referência mais formal, você pode seguir as referências na plot.lm()função, a saber

Belsley, DA, Kuh, E. e Welsch, RE (1980). Diagnóstico de regressão . Nova York: Wiley.

Além disso, sobre as informações adicionais exibidas nos gráficos, podemos olhar mais longe e ver que R usa

plot(xx, rsp, ...                    # line 230
panel(xx, rsp, ...)                  # line 233
cl.h <- sqrt(crit * p * (1 - hh)/hh) # line 243
lines(hh, cl.h, lty = 2, col = 2)    #
lines(hh, -cl.h, lty = 2, col = 2)   #  

onde rspé rotulado como Padrão. Pearson res. no caso de um GLM, Std. resíduos caso contrário (linha 172); em ambos os casos, no entanto, a fórmula usada por R é (linhas 175 e 178)

residuals(x, "pearson") / s * sqrt(1 - hii)

onde hiié a matriz do chapéu retornada pela função genérica lm.influence(). Esta é a fórmula usual para std. resíduos:

$$rs_j=\frac{r_j}{\sqrt{1-\hat h_j}}$$

$j$$j$

As próximas linhas de código R desenhar uma suave para a distância de Cook ( add.smooth=TRUEem plot.lm()por padrão, consulte getOption("add.smooth")) e linhas de contorno (não visível em seu lote) para resíduos padronizados críticos (veja a cook.levels=opção).