Explicação para graus de liberdade não inteiros no teste t com variações desiguais

O procedimento do teste t SPSS relata 2 análises ao comparar duas médias independentes, uma análise com variâncias iguais assumidas e outra com variâncias iguais não assumidas. Os graus de liberdade (df) quando pressões iguais são assumidas são sempre valores inteiros (e iguais n-2). O df quando variações diferentes não são assumidas não é um número inteiro (por exemplo, 11.467) e nem chega perto de n-2. Estou procurando uma explicação da lógica e do método usado para calcular esses df não inteiros.

— Joel W.
fonte

Uma apresentação em PowerPoint da Universidade da Flórida contém um bom relato de como essa aproximação à distribuição amostral da estatística Student t é derivada para o caso de variações desiguais.

— whuber

O teste t de Welch é sempre mais preciso? Existe uma desvantagem em usar a abordagem Welch?

— Joel W.

Se o Welch e o teste t original produzem p dramaticamente diferentes, com que devo ir? E se o valor de p para as diferenças de variação for apenas 0,06, mas as diferenças nos valores de p dos dois testes t forem 0,000 e 0,121? (Isto ocorreu quando um grupo de dois não tinham variância e o outro grupo de 25 tinham uma variação de 70 mil.)

— Joel W.

Não escolha entre eles com base no valor de

p

$p$ . A menos que você tenha um bom motivo (antes mesmo de ver os dados) para assumir uma variação igual, simplesmente não faça essa suposição.

— Glen_b -Reinstate Monica

Todas as perguntas estão relacionadas a quando usar o teste Welch. Esta questão foi publicada em stats.stackexchange.com/questions/116610/…

— Joel W.

Respostas:

Pode-se mostrar que o Welch-Satterthwaite df é uma média harmônica ponderada em escala dos dois graus de liberdade, com pesos na proporção dos desvios padrão correspondentes.

A expressão original diz:

ν_{_{W}} = \frac{{(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{\frac{s_{1}^{4}}{n_{1}^{2} ν_{1}} + \frac{s_{2}^{4}}{n_{2}^{2} ν_{2}}}

$\nu_{_W} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2\nu_1}+\frac{s_2^4}{n_2^2\nu_2}}$

Note-se que é a variância estimada do da amostra média ou o quadrado da -ésima erro padrão da média . Seja (a razão entre as variações estimadas da amostra significa), então $r_i=s_i^2/n_i$ $i^\text{th}$ $i$ $r=r_1/r_2$

\begin{aligned} ν_{_{W}} & = \frac{{(r_{1} + r_{2})}^{2}}{\frac{r_{1}^{2}}{ν_{1}} + \frac{r_{2}^{2}}{ν_{2}}} \\ = \frac{{(r_{1} + r_{2})}^{2}}{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}} \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{\frac{r_{1}^{2}}{ν_{1}} + \frac{r_{2}^{2}}{ν_{2}}} \\ = \frac{{(r + 1)}^{2}}{r^{2} + 1} \frac{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}{\frac{r_{1}^{2}}{ν_{1}} + \frac{r_{2}^{2}}{ν_{2}}} \end{aligned}

$\begin{align} \nu_{_W} &= \frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r_1+r_2\right)^2}{r_1^2+r_2^2}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \newline \newline &=\frac{\left(r+1\right)^2}{r^2+1}\frac{r_1^2+r_2^2}{\frac{r_1^2}{\nu_1}+\frac{r_2^2}{\nu_2}} \end{align}$

O primeiro fator é , que aumenta de em a em e depois diminui para em ; é simétrico no . $1+\text{sech}(\log(r))$ $1$ $r=0$ $2$ $r=1$ $1$ $r=\infty$ $\log r$

O segundo fator é uma média harmônica ponderada :

H (\underline{x}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} w_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{w_{i}}{x_{i}}} .

$H(\underline{x})=\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}\,.$

do df, onde são os pesos relativos aos dois df $w_i=r_i^2$

Ou seja, quando é muito grande, converge para . Quando está muito próximo de , converge para . Quando -lhe obter duas vezes a média harmónica do df, e quando -lhe obter a igualdade de variância-df t-teste usual, que é também o valor máximo possível para . $r_1/r_2$ $\nu_1$ $r_1/r_2$ $0$ $\nu_2$ $r_1=r_2$ $s_1^2=s_2^2$ $\nu_{_W}$

Com um teste t de variância igual, se as premissas se mantiverem, o quadrado do denominador é uma constante vezes uma variável aleatória qui-quadrado.

O quadrado do denominador do teste t de Welch não é (um tempo constante) um qui-quadrado; no entanto, muitas vezes não é uma aproximação muito ruim. Uma discussão relevante pode ser encontrada aqui .

Uma derivação mais no estilo de livro didático pode ser encontrada aqui .

— Glen_b -Reinstate Monica
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Grande insight sobre a média harmônica, que é mais apropriada do que a média aritmética para as médias das relações.

— Felipe G. Nievinski 01/09/16

O que você está se referindo é a correção de Welch-Satterthwaite nos graus de liberdade. O teste quando a correção WS é aplicada é frequentemente chamado de teste de Welch . (Aliás, isso não tem nada a ver com SPSS, todo o software de estatística será capaz de conduzir de Welch $t$ $t$ $t$ $t$ $t$ $s^2_1/n_1$ $s_2^2/n_2$ $t$

— Repor a Monica
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Para um teste t, o SPSS relata o df como 26,608, mas os ns para os dois grupos são 22 e 104. Você tem certeza sobre "O df apropriado deve estar em algum lugar entre o df completo e o df do grupo maior"? (Os desvios padrão são 10,5 e 8,1 para os grupos mais pequenos e maiores, respectivamente.)

— Joel W.

Depende dos tamanhos relativos de

s_{1}^{2} / n_{1}

$s_1^2/n_1$ vs

s_{2}^{2} / n_{2}

$s_2^2/n_2$ . Se o maior

n

$n$ is associated with a sufficiently larger variance, the combined d.f. can be lower than the larger of the two d.f. Note that the Welch t-test is only approximate, since the squared denominator is not actually a (scaled) chi-square random variate. However in practice it does quite well.

— Glen_b -Reinstate Monica

I think I'll expand on the relationship between the relative sizes of the

(s_{i}^{2} / n_{i})

$(s_i^2/n_i)$ and the Welch d.f. in an answer (since it won't fit in a comment).

— Glen_b -Reinstate Monica

@ Glen_b, tenho certeza de que será de grande valor aqui.

— gung - Restabelece Monica