Qual é a diferença entre e ?

Geralmente, qual é a diferença entre e ?$E(X|Y)$$E(X|Y=y)$

Ex é função de e último é função de ? É tão confuso ..$y$$x$

Grosso modo, a diferença entre e é que a primeira é uma variável aleatória, enquanto a segunda é (em algum sentido) uma realização de . Por exemplo, se então é a variável aleatória Por outro lado, uma vez que é observado, provavelmente estaríamos interessados ​​na quantidade que é um escalar.$E(X \mid Y)$$E(X \mid Y = y)$$E(X \mid Y)$

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ $E(X \mid Y)$ $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ $Y = y$$E(X \mid Y = y) = \rho y$

Talvez isso pareça uma complicação desnecessária, mas considerar como uma variável aleatória por si só é o que faz coisas como a lei da torre fazer sentido - a coisa no interior do aparelho é aleatória, então podemos perguntar qual é a sua expectativa, enquanto não há nada aleatório em . Na maioria dos casos, podemos esperar calcular $E(X \mid Y)$$E(X) = E[E(X \mid Y)]$$E(X \mid Y = y)$

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

e, em seguida, obtenha "conectando" a variável aleatória no lugar de na expressão resultante. Como sugerido em um comentário anterior, há um pouco de sutileza que pode surgir com relação a como essas coisas são rigorosamente definidas e vinculá-las da maneira apropriada. Isso tende a acontecer com probabilidade condicional, devido a alguns problemas técnicos da teoria subjacente.$E(X \mid Y)$$Y$$y$

Suponha que e são variáveis ​​aleatórias.$X$$Y$

Seja um número real fixo , diga . Então, é um número : é o valor condicional esperado de dado que tem o valor . Agora, observe algum outro número real fixo , diga , seria o valor esperado condicional de X dado Y = 1,5 (um valor real número). Não há razão para supor que E [ X ∣$y_0$$y_0 = 1$$E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$$X$$Y$$1$$y_1$$y_1=1.5$$E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$$X$$Y = 1.5$$E[X\mid Y = 1.5]$ e$E[X\mid Y = 1]$ têm o mesmo valor. Assim, também podemos considerar$E[X\mid Y=y]$ como sendo umafunção com valor real que mapeia números reaispara números reais. Observe que a afirmação na pergunta do OP de queé uma função de está incorreta:é uma função com valor real de$g(y)$$y$$E[X\mid Y = y]$$E[X\mid Y = y]$$x$$E[X\mid Y = y]$$y$ .

Por outro lado, $E[X\mid Y]$ é uma variável aleatória $Z$ que passa a ser uma função da variável aleatória $Y$ . Agora, sempre que escrevemos $Z = h(Y)$ , o que queremos dizer é que sempre que a variável aleatória $Y$ tem valor $y$ , a variável aleatória $Z$ tem valor $h(y)$ . Sempre que $Y$ assume o valor $y$ , a variável aleatória $Z = E[X\mid Y]$ assume o valor$E[X\mid Y = y] = g(y)$ . Assim,$E[X\mid Y]$ é apenas outro nome para a variável aleatória$Z = g(Y)$ . Observe que$E[X\mid Y]$ é uma função de$Y$ (não$y$ como na declaração da pergunta do OP).

Como um exemplo ilustrativo simples, suponha que $X$ e $Y$ sejam variáveis ​​aleatórias discretas com distribuição conjunta

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Observe que$X$e$Y$sãovariáveis ​​aleatórias(dependentes) deBernoullicom parâmetros$0.7$e$0.6$respectivamente, e então$E[X] = 0.7$ e$E[Y] = 0.6$. Agora, observe que,condicionadoem$Y=0$,$X$é uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro $0.75$ enquanto condicionada em $Y = 1$ , $X$ é uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro $\frac 23$ . Se você não consegue entender por que isso é tão imediato, apenas elabore os detalhes: por exemplo, $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ e de forma semelhante para$P(X=1\mid Y=1)$e$P(X=0\mid Y = 1)$. Portanto, temos que $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Assim,$E[X\mid Y = y] = g(y)$que$g(y)$é uma função com valor real, desfrutando das propriedades: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

Por outro lado, $E[X\mid Y] = g(Y)$ é uma variável aleatória que assume os valores $\frac 34$ e$\frac 23$ com probabilidades$0.4 = P(Y=0)$e$0.6 = P(Y=1)$respectivamente. Observe que$E[X\mid Y]$é umavariável aleatóriadiscreta, masnão éuma variável aleatória de Bernoulli.

Como toque final, observe que

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ Ou seja, o valor esperado dessafunçãode$Y$, calculado usando apenas a distribuição marginal de$Y$, passa a ter omesmovalor numérico que$E[X]$!! Esta é uma ilustração de um resultado mais geral que muitas pessoas acreditam que é uma mentira: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Desculpe, isso é apenas uma pequena piada. MENTIRA é um acrônimo para Lei da Expectativa Iterada, que é um resultado perfeitamente válido que todos acreditam ser a verdade.

é a expectativa de uma variável aleatória: a expectativa de X condicional em Y . E ( X | Y = y ) , por outro lado, é um valor específico: o valor esperado de X quando Y = y .$E(X|Y)$$X$$Y$$E(X|Y=y)$$X$$Y=y$

Pense desta maneira: deixe representar a ingestão calórica e Y representar a altura. E ( X | Y ) é então a ingestão calórica, condicionada à altura - e, neste caso, E ( X | Y = y ) representa nosso melhor palpite quanto à ingestão calórica ( X ) quando uma pessoa tem uma certa altura Y = y digamos, 180 centímetros. $X$$Y$$E(X|Y)$$E(X|Y=y)$$X$$Y = y$

é o valor esperado de valores de X dados valores de Y E ( X | Y = y ) é o valor esperado de X dado que o valor de Y é$E(X|Y)$$X$$Y$ $E(X|Y=y)$$X$$Y$$y$

Geralmente é a probabilidade dos valores X dados valores Y , mas você pode ser mais preciso e dizer P ( X = x | Y = y ) , ou seja, probabilidade do valor x de todos os X 's, dada a y 'th valor de Y 's. A diferença é que, no primeiro caso, trata-se de "valores de" e no segundo você considera um determinado valor.$P(X|Y)$$X$$Y$$P(X=x|Y=y)$$x$$X$$y$$Y$

Você pode encontrar o diagrama abaixo útil.