Se uma série temporal é estacionária de segunda ordem, isso implica que é estritamente estacionária?

Um processo é estritamente estacionário se a distribuição conjunta de é a mesma que a distribuição conjunta de para todos os , para todos os e para todos os $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ . $t_1,t_2,...,t_m$

Um processo é estacionário de segunda ordem se sua média for constante e sua função de autocovariância depender apenas do atraso.

Portanto, estacionário de segunda ordem implica estacionário estrito?

Também sob estacionário de segunda ordem, diz que não são feitas suposições sobre momentos superiores aos de primeira e segunda ordem. O primeiro momento corresponde à média, o segundo momento corresponde à autocovariância?

— Clarkson
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Veja também este post para uma discussão relacionada.

— Javlacalle

O que você chama (ou o que seu curso chama) de estacionário de segunda ordem é freqüentemente chamado de estacionário fracamente estacionário ou estacionário de senso amplo (WSS) ou estacionário no sentido amplo. Os processos do WSS não são necessariamente estritamente estacionários porque a média e a autocovariância não são, em geral, suficientes para determinar a distribuição. Claro, um WSS gaussiana ou normal de processo (ou seja, todos os

são variáveis aleatórias normais) é estritamente estacionário porque a média e matriz de covariância determinar a distribuição conjunta.

X_{t}

$X_t$

— precisa

Consulte também Exemplo de um processo estacionário de 2ª ordem, mas não estritamente estacionário . Os dois estão muito perto de serem duplicados. Essa pergunta também pergunta se o segundo momento se refere à autocovariância, mas isso é realmente uma subquestão e, de qualquer forma, é tratado no segmento O que é um processo estacionário de segunda ordem?

— Silverfish

mathoverflow.net/questions/42141/...

— Robby McKilliam

A estacionariedade de segunda ordem é mais fraca que a estacionariedade estrita. A estacionariedade de segunda ordem exige que os momentos de primeira e segunda ordem (média, variância e covariâncias) sejam constantes ao longo do tempo e, portanto, não dependem do tempo em que o processo é observado. Em particular, como você diz, a covariância depende apenas da ordem de atraso, , mas não do tempo em que é medida, $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ para todos $t$ .

Em um processo de estacionariedade estrito, os momentos de todas as encomendas permanecem constantes ao longo do tempo, ou seja, como você diz, a distribuição conjunta de é igual à distribuição conjunta de para todos os $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ e . $t1,t2,...,tm$ $k$

Portanto, estacionariedade estrita envolve estacionariedade de segunda ordem, mas o inverso não é verdadeiro.

Editar (editado como resposta ao comentário do @ whuber)

A afirmação anterior é o entendimento geral de estacionariedade fraca e forte. Embora a ideia de que a estacionariedade no sentido fraco não implique estacionariedade no sentido mais forte possa concordar com a intuição, pode não ser tão simples de provar, como apontado pelo whuber no comentário abaixo. Pode ser útil ilustrar a ideia, conforme sugerido nesse comentário.

Como poderíamos definir um processo estacionário de segunda ordem (média, variância e covariância constante ao longo do tempo), mas não estacionário em sentido estrito (momentos de ordem superior dependem do tempo)?

Conforme sugerido por @whuber (se bem entendi), podemos concatenar lotes de observações provenientes de diferentes distribuições. Só precisamos ter cuidado para que essas distribuições tenham a mesma média e variação (neste momento, vamos considerar que elas são amostradas independentemente uma da outra). Por um lado, podemos, por exemplo, gerar observações da distribuição aluno com graus de liberdade. A média é zero e a variância é . Por outro lado, podemos tomar a distribuição de Gauss, com média zero e variância . $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

Ambas as distribuições compartilham a mesma média (zero) e a variância ( ). Assim, a concatenação de valores aleatórios dessa distribuição será, pelo menos, estacionária de segunda ordem. No entanto, a curtose nos pontos governados pela distribuição gaussiana será , enquanto nos momentos em que os dados provêm da distribuição aluno, será de $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$ . Portanto, os dados gerados dessa maneira não são estacionários em sentido estrito, porque os momentos de quarta ordem não são constantes.

As covariâncias também são constantes e iguais a zero, pois consideramos observações independentes. Isso pode parecer trivial, para que possamos criar alguma dependência entre as observações, de acordo com o seguinte modelo autoregressivo.

com

y_{t} = ϕ y_{t - 1 1} + ϵ_{t}, | ϕ | < 1 1, t = 1 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$

\begin{array}{rcl} ϵ_{t} \sim {\begin{cases} N (0 0, σ^{2} = 5 / 3) & E se t \in [0 0, 20], [41., 60], [81, 100] \\ t_{5} & E se t \in [21, 40.], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

garante que a estacionariedade de segunda ordem seja satisfeita. $|\phi| < 1$

Podemos simular algumas dessas séries no software R e verificar se a média da amostra, variância, covariância de primeira ordem e curtose permanecem constantes em lotes de observações (o código abaixo usa e tamanho da amostra , a Figura exibe uma das séries simuladas): $20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

Os resultados não são o que eu esperava:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

$t$ $20$

— javlacalle
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Embora você esteja correto, você não demonstrou adequadamente a conclusão final. (Você parece estar presumindo que os momentos mais altos de um processo estacionário de segunda ordem podem ser prescritos independentemente de seus dois primeiros momentos, mas isso - embora parcialmente verdadeiro - não é óbvio.) A maneira mais forte de demonstrar sua conclusão seria exibir um processo estacionário de segunda ordem, mas não estacionário. Embora isso seja fácil de fazer com uma sequência adequada de variáveis aleatórias independentes, seria interessante fornecer um exemplo com correlações sem fuga em todos os intervalos.

— whuber

@whuber eu editei minha resposta. Eu pensei que tinha entendido o seu ponto, mas minha tentativa de seguir sua ideia não foi totalmente satisfatória.

— Javlacalle

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

Eu não ordenaria estacionariedade estrita e covariância-estacionariedade (embora o uso do termo "fraco" também para este último indique, infelizmente, esse tipo de ordenação). A razão é que a estacionariedade estrita não implica covariância-estacionariedade: o processo pode ser estritamente estacionário, mas os momentos de distribuição podem não existir ou ser infinitos; nesse caso, esse processo estritamente estacionário não é covariância-estacionário.

— Alecos Papadopoulos

Não podemos simular diretamente a inexistência de momentos . Crie um processo estritamente estacionário de Cauchy, para dar o exemplo trivial. O gráfico parecerá perfeitamente "estacionário", porque o comportamento do processo é repetitivo, um comportamento que depende dos momentos apenas quando eles existem . Se eles não existirem, o comportamento é descrito e depende de outras características da distribuição.

— Alecos Papadopoulos

Como não posso comentar, e tenho uma ressalva interessante à resposta de @javlacalle , sou forçado a incluir esta é uma resposta separada:

@javlacalle escreveu isso

estacionariedade estrita envolve estacionariedade de segunda ordem, mas o inverso não é verdadeiro.

No entanto, estacionariedade forte não implica estacionariedade fraca. A razão é que uma forte estacionariedade não significa que o processo tenha necessariamente um segundo momento finito. Por exemplo, um processo de IDI com distribuição Cauchy padrão é estritamente estacionário, mas não possui um segundo momento finito. De fato, ter um segundo momento finito é uma condição necessária e suficiente para a fraca estacionariedade de um processo fortemente estacionário.

Referência: Myers, DE, 1989. Ser ou não ser. . . estacionário? Essa é a questão. Matemática. Geol. 21, 347-362.

— ShayPal5
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