Qual é o significado de e ?

Estou lutando para entender completamente alguma notação em um livro em que eles usam o símbolo "mira" - primeiro como onde são matrizes e segundo como where e são ambas matrizes. $\bigoplus\limits_{i=1}^n{} Z_j$ $Z_j$ $I_n \otimes \Phi$ $I_n$ $\Phi$

O livro é sobre estatísticas multivariadas e a seção é sobre modelos de coeficientes aleatórios. Não há um apêndice de notação / terminologia para se referir. Eu estava indo postar uma foto digital da página para que os usuários possam ver o contexto (isso é no início da seção).

Então, isso está no tópico aqui ou devo postar no math.se?

Atualização: originalmente eu publiquei isso no meta.se e ele foi migrado aqui. Agora estou anexando a foto da página relevante do livro. insira a descrição da imagem aqui

mathematical-statistics mixed-model notation

— Joe King
fonte

\oplus

$\oplus$ , soma direta ; , produto tensor .

\otimes

$\otimes$

— whuber

@whuber thanks! Era exatamente disso que eu precisava. Deseja transformá-lo em uma resposta para que eu possa aceitá-lo?

— Joe King

Estou muito ocupado agora, Joe - uma resposta real explicaria o que são essas coisas, em vez de recorrer a links. Se alguém quiser fornecer os detalhes em uma resposta, ficarei feliz em votar, mas, enquanto isso, fico feliz que você possa seguir em frente com sua leitura.

— whuber

@whuber OK vou carregar a imagem digital de mencionei para dar mais contexto

— Joe King

Em estatística, e (por exemplo, para um -matrix )

A \oplus B := [\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}]

$A\oplus B:=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right]$

2 \times 2

$2\times 2$

A

$A$

A \otimes B := [\begin{array}{cc} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{array}] .

$A\otimes B:=\left[\begin{array}{cc}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array} \right].$

Isso se concentra nas matrizes para uso em estatísticas como matrizes de projeto ou hipótese, etc., onde essas notações simplificam a estrutura de blocos freqüente dessas matrizes. Pode-se encontrar o nome Kronecker sum for e o produto Kronecker for , especialmente nos manuais de software estatístico. (Também é muito útil a multiplicação de matrizes em componentes para matrizes com a mesma forma. Às vezes é chamada de produto Hadamard.) $\oplus$ $\otimes$ $A\#B=[a_{ij}b_{ij}]_{i,j}$

Em matemática, e têm seu significado típico ligeiramente diferente como soma direta ou produto tensorial de espaços vetoriais ou estruturas algébricas ainda mais gerais. $\oplus$ $\otimes$

— Horst Grünbusch
fonte

O significado estatístico é idêntico ao significado matemático de soma direta e produto tensorial de transformações lineares : essas fórmulas resultam da gravação das transformações como matrizes em uma base específica.

— whuber

O teorema sustenta que o conjunto de matrices é isomórfico ao conjunto de transformações lineares de um espaço vetorial dimensional para dimensional. Então, no mundo do espaço vetorial, você está certo. Mas existe uma soma direta também entre estruturas como grupos. Nas estatísticas, o último geralmente não se destina.

n \times m

$n\times m$

m

$m$

n

$n$

— Horst Grünbusch

@whuber, quando procurei pela primeira vez, me deparei com [this] ( math.stackexchange.com/questions/207635/… ) que me confundiu bastante e me levou a fazer a pergunta no CV. Esse link está realmente mostrando o mesmo uso, porque o anser aceito lá diz que é "adição sem carga"?

— Joe King

@ HorstGrünbusch Eu só queria alertá-lo para o comentário que acabei de fazer acima do dedo do pé whuber - também, se você pudesse atualizar sua resposta para refletir como os significados são chamados nas estatísticas, eu ficaria feliz em aceitá-lo.

— Joe King

\oplus

$\oplus$