No caso em que o suporte à distribuição não dependa do parâmetro desconhecido θ, podemos invocar o teorema de (Fréchet-Darmois-) Pitman-Koopman , a saber, que a densidade das observações é necessariamente da forma exponencial da família,
para concluir que, uma vez que a estatística natural suficiente
também é mínima o suficiente, então a mediana deve ser uma função de , o que é impossível: modificar um extremo nas observações , , modifica mas não modifica a mediana.S = n ∑ i = 1 T ( x i ) S x 1 , … , x n n > 2 S
exp{ θ T( x ) - ψ ( θ ) } h ( x )
S= ∑i = 1nT( xEu)
Sx1, … , Xnn > 2S
No caso alternativo, quando o suporte à distribuição depende do parâmetro desconhecido θ, podemos considerar o caso em que
onde o conjunto indexado por θ é o suporte de . Nesse caso, o teorema da fatoração implica que
é uma função 0-1 da mediana da amostra
Adicionando uma observação adicional cujo valor é tal que não modifica a mediana da amostra, leva a uma contradição, pois pode estar dentro ou fora do conjunto de suporte, enquanto
A θ f n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) n ∏ i = 1 I A θ ( x i ) = I B n θ ( med ( x 1 : n )
f( x | θ ) = h ( x ) IUMAθ( X ) τ( θ )
UMAθf∏i = 1nEuUMAθ( xEu)
∏i = 1nEuUMAθ( xEu) = IBnθ( med ( x1 : n) ))
xn + 1EuBn + 1θ( med ( x1 : n + 1) ) = IBnθ( med ( x1 : n) ) × IUMAθ( xn + 1)