Consistência de 2SLS com variável endógena binária

Eu li que o estimador 2SLS ainda é consistente, mesmo com a variável endógena binária ( http://www.stata.com/statalist/archive/2004-07/msg00699.html ). No primeiro estágio, um modelo de tratamento probit será executado em vez de um modelo linear.

Existe alguma prova formal para mostrar que o 2SLS ainda é consistente, mesmo quando o 1º estágio é um modelo probit ou logit?

E se o resultado também for binário? Entendo que, se tivermos um resultado binário e uma variável endógena binária (os primeiro e o segundo estágios são modelos probit / logit binários), imitar o método 2SLS produzirá uma estimativa inconsistente. Existe alguma prova formal para isso? O livro econométrico de Wooldridge tem alguma discussão, mas acho que não há provas rigorosas para mostrar a inconsistência.

data sim;
     do i=1 to 500000;
        iv=rand("normal",0,1);
             x2=rand("normal",0,1);
        x3=rand("normal",0,1);
        lp=0.5+0.8*iv+0.5*x2-0.2*x3;
        T=rand("bernoulli",exp(lp)/(1+exp(lp)));
        Y=-0.8+1.2*T-1.3*x2-0.8*x3+rand("normal",0,1);
        output;
     end;
     run;

****1st stage: logit model ****;
****get predicted values   ****;         
proc logistic data=sim descending;
     model T=IV;
     output out=pred1 pred=p;
     run;

****2nd stage: ols model with predicted values****;
proc reg data=pred1;
     model y=p;
     run;

o coeficiente de p = 1.19984. Eu executo apenas uma simulação, mas com um tamanho de amostra grande.

probit instrumental-variables endogeneity

— Vincent
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Você não precisa adicionar link = probit à instrução de modelo?

— Mike Hunter

Houve uma pergunta semelhante em relação a um primeiro estágio probit e um segundo estágio OLS. Na resposta , forneço um link para notas que contêm uma prova formal da inconsistência dessa regressão, formalmente conhecida como "regressão proibida", como foi denominado por Jerry Hausman. A principal razão para a inconsistência da abordagem probit primeiro estágio / OLS segundo estágio é que nem o operador de expectativas nem o operador de projeções lineares passam por um primeiro estágio não linear. Portanto, os valores ajustados de um probit do primeiro estágio não são correlacionados apenas com o termo de erro do segundo estágio, sob suposições muito restritivas que quase nunca se aplicam na prática. Esteja ciente de que a prova formal da inconsistência da regressão proibida é bastante elaborada, se bem me lembro.

Y_{Eu} = α + β X_{Eu} + ϵ_{Eu}

$Y_i = \alpha + \beta X_i + \epsilon_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i}

$X_i$

X_{Eu} = uma + Z_{Eu}^{'} π + η_{Eu}

$X_i = a + Z'_i\pi + \eta_i$

{\hat{X}}_{i}

$\widehat{X}_i$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

$Y_i$

Para uma discussão mais detalhada, dê uma olhada nas excelentes notas de aula de Kit Baum sobre esse tópico. No slide 7, ele discute o uso do modelo de probabilidade linear no contexto 2SLS.

Finalmente, se você realmente deseja usar o probit porque deseja estimativas mais eficientes, existe outra maneira também mencionada em Wooldridge (2010) "Análise Econométrica de Seção Transversal e Dados de Painel". A resposta vinculada acima inclui, eu repito aqui para ser completo. Como exemplo aplicado, veja Adams et al. (2009) que usam um procedimento de três etapas, como segue:

use probit para regredir a variável endógena no (s) instrumento (s) e variáveis exógenas
use os valores previstos da etapa anterior em um primeiro estágio do OLS junto com as variáveis exógenas (mas sem o instrumental)
faça o segundo estágio como de costume

Este procedimento não se enquadra no problema de regressão proibido, mas fornece estimativas mais eficientes do seu parâmetro de interesse.

— Andy
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Olá Andy, obrigado pela sua resposta. Você está sugerindo "inconsistência da abordagem probit first stage / OLS second stage"? Não foi isso que li no link que dei. Diz-se que a abordagem probit do primeiro estágio / OLS segundo estágio é consistente.

— Vincent

Não é o que diz o post estatalista. Se você examinar a seção "métodos e fórmula" para o comando treatreg (que agora é chamado etregress) na documentação , verá que o estimador em duas etapas não é 2SLS com um probit primeiro estágio / segundo OLS. Em vez disso, o probit é usado primeiro para obter as taxas de risco que são usadas em uma regressão OLS para obter estimativas consistentes.

— Andy

Obrigado Andy. Está ficando interessante. Parece que imitar 2SLS com modelo probit no 1º estágio não está sendo aceito. Vou ler a "proibição da regressão" por razões terapêuticas. A propósito, tentei uma simulação usando SAS e os resultados não parecem ruins para 2SLS com probit 1st / ols 2nd.

— Vincent

Estou postando o código na pergunta principal e gostaria de ouvir seus comentários. Obrigado!

— Vincent