Como interpretar estimativas de parâmetros nos resultados de Poisson GLM [fechado]

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Fechado há 5 anos .

Call:
glm(formula = darters ~ river + pH + temp, family = poisson, data = darterData)

Deviance Residuals:
    Min      1Q   Median     3Q    Max
-3.7422 -1.0257   0.0027 0.7169 3.5347

Coefficients:
              Estimate Std.Error z value Pr(>|z|)
(Intercept)   3.144257  0.218646  14.381  < 2e-16 ***
riverWatauga -0.049016  0.051548  -0.951  0.34166
pH            0.086460  0.029821   2.899  0.00374 **
temp         -0.059667  0.009149  -6.522  6.95e-11 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 233.68 on 99 degrees of freedom
Residual deviance: 187.74 on 96 degrees of freedom
AIC: 648.21

Eu quero saber como interpretar cada estimativa de parâmetro na tabela acima.

— tomjerry001
fonte

A interpretação é idêntica: stats.stackexchange.com/a/126225/7071

— Dimitriy V. Masterov

Esta questão parece estar fora de tópico, porque se trata de explicar uma saída R sem qualquer forma de pergunta inteligente por trás. Esta é a categoria "Eu despejo minha saída do computador lá e você executar a análise de estatísticas para mim" ...

— Xi'an

Seu parâmetro de dispersão parece indicar que há alguns problemas com o seu modelo. Talvez você deva considerar usar uma distribuição quase-pontual. Aposto que suas estimativas de parâmetros mudarão drasticamente e a interpretação também. Se você executar "plot (model)", obterá algumas plotagens de seus resíduos, dê uma olhada nessas plotagens quanto a padrões indesejados antes de começar a interpretar seu modelo real. Para traçar rapidamente o ajuste do seu modelo, você também pode usar "visreg (modelfit)" do pacote visreg

— Robbie

@ Xi'an, embora a pergunta seja escassa e requer edição, eu não acho que seja fora de tópico. Considere estas perguntas que não são consideradas fora de tópico: Interpretação da saída lm () de R e Interpretação da saída de R para regressão binomial . Parece ser uma duplicata , no entanto.

— gung - Restabelece Monica

Esta é uma duplicata de Como interpretar coeficientes em uma regressão de Poisson? Por favor, leia o tópico vinculado. Se você ainda tiver alguma dúvida depois de ler isso, volte aqui e edite sua pergunta para indicar o que aprendeu e o que ainda precisa saber, então podemos fornecer as informações necessárias sem duplicar o material em outro lugar que já não ajudou você.

— gung - Restabelece Monica

Não acho que o título da sua pergunta capte com precisão o que você está pedindo.

A questão de como interpretar os parâmetros em um GLM é muito ampla, porque o GLM é uma classe muito ampla de modelos. Lembre-se de que um GLM modela uma variável de resposta que se supõe seguir uma distribuição conhecida da família exponencial e que escolhemos uma função invertível modo que $y$ $g$ paravariáveis preditivas . Nesse modelo, a interpretação de qualquer parâmetro específico é a taxa de variação de em relação a . Definir

E [y | x] = g^{- 1} (x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J})

$\mathrm{E}\left[y\,|\,x\right] = g^{-1}{\left(x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J\right)}$

J

$J$

x

$x$

β_{j}

$\beta_j$

g (y)

$g(y)$

x_{j}

$x_j$

para manter a notação limpa. Então, para qualquer

μ \equiv E [y | x] = g^{- 1} (x)

$\mu \equiv \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} = g^{-1}{\left(x\right)}$

η \equiv x \cdot β

$\eta \equiv x \cdot \beta$

j \in {1, \dots, J}

$j \in \{1,\dots,J\}$

Agora defina

como um vetor dezeros

e um único

ésima posição, de modo que, por exemplo, se

então

. Então

β_{j} = \frac{\partial η}{\partial x_{j}} = \frac{\partial g (μ)}{\partial x_{j}} .

$\beta_j = \frac{\partial\,\eta}{\partial\,x_j} = \frac{\partial\,g(\mu)}{\partial\,x_j} \text{.}$

e_{j}

$\mathfrak{e}_j$

J - 1

$J-1$

1

$1$

j

$j$

J = 5

$J=5$

e_{3} = (0, 0, 1, 0, 0)

$\mathfrak{e}_3 = \left(0,0,1,0,0\right)$

β_{j} = g (E [y | x + e_{j}]) - g (E [y | x])

$\beta_j = g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]}\right)} - g{\left(\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}\right)}$

O que significa apenas que é o efeito em de um aumento de unidade em . $\beta_j$ $\eta$ $x_j$

Você também pode indicar o relacionamento desta maneira: e

\frac{\partial E [y | x]}{\partial x_{j}} = \frac{\partial μ}{\partial x_{j}} = \frac{d μ}{d η} \frac{\partial η}{\partial x_{j}} = \frac{\partial μ}{\partial η} β_{j} = \frac{d g^{- 1}}{d η} β_{j}

$\frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}\mu}{\operatorname{d}\eta}\frac{\operatorname{\partial}\eta}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}\eta} \beta_j = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$

E [y | x + e_{j}] - E [y | x] \equiv Δ_{j} \hat{y} = g^{- 1} ((x + e_{j}) β) - g^{- 1} (x β)

$\mathrm{E}{\left[y\,|\,x + \mathfrak{e}_j \right]} - \mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]} \equiv \operatorname{\Delta_j} \hat y = g^{-1}{\left( \left(x + \mathfrak{e}_j\right)\beta \right)} - g^{-1}{\left( x\,\beta \right)}$

Sem saber nada sobre , é o mais longe que podemos chegar. é o efeito em , na média condicional transformada de , de um aumento unitário em , e o efeito na média condicional de de um aumento unitário em é . $g$ $\beta_j$ $\eta$ $y$ $x_j$ $y$ $x_j$ $g^{-1}{\left(\beta\right)}$

Mas você parece estar perguntando especificamente sobre a regressão de Poisson usando a função de link padrão de R, que neste caso é o logaritmo natural. Se for esse o caso, você está perguntando sobre um tipo específico de GLM em que e . Então podemos obter alguma tração em relação a uma interpretação específica. $y \sim \mathrm{Poisson}{\left(\lambda\right)}$ $g = \ln$

Pelo que eu disse acima, sabemos que . E já que sabemos, também sabemos que. Também sabemos que $\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{d}g^{-1}}{\operatorname{d}\eta} \beta_j$ $g(\mu) = \ln(\mu)$ $g^{-1}(\eta) = e^\eta$ , então podemos dizer que $\frac{\operatorname{d}e^\eta}{\operatorname{d}\eta} = e^\eta$

\frac{\partial μ}{\partial x_{j}} = \frac{\partial E [y | x]}{\partial x_{j}} = e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J}} β_{j}

$\frac{\operatorname{\partial}\mu}{\operatorname{\partial}x_j} = \frac{\operatorname{\partial}\mathrm{E}{\left[y\,|\,x\right]}}{\operatorname{\partial}x_j} = e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}\beta_j$

o que finalmente significa algo tangível:

Dada uma muito pequena mudança em , o equipada muda por $x_j$ $\hat y$ . $\hat y\,\beta_j$

Nota: essa aproximação pode realmente funcionar para alterações tão grandes quanto 0,2, dependendo da precisão necessária.

E usando a interpretação mais familiarizados mudança de unidade, temos: que significa

\begin{aligned} Δ_{j} \hat{y} & = e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + (x_{j} + 1) β_{j} + \dots + x_{J} β_{J}} - e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J}} \\ = e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J} + β_{j}} - e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J}} \\ = e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J}} e_{j}^{β} - e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J}} \\ = e^{x_{0} + x_{1} β_{1} + \dots + x_{J} β_{J}} (e_{j}^{β} - 1) \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{\Delta_j} \hat y &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + \left(x_j + 1\right)\,\beta_j + \dots + x_J\beta_J } - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J + \beta_j} - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J}e^\beta_j - e^{x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \\ &= e^{ x_0 + x_1\beta_1 + \dots + x_J\beta_J} \left( e^\beta_j - 1 \right) \end{align}$

Dada uma unidade de variação em , os embutidos alterações por . $x_j$ $\hat y$ $\hat y \left( e^\beta_j - 1 \right)$

Há três peças importantes a serem observadas aqui:

O efeito de uma mudança nos preditores depende do nível da resposta.
Uma mudança aditiva nos preditores tem um efeito multiplicativo na resposta.
Você não pode interpretar os coeficientes apenas lendo-os (a menos que possa calcular exponenciais arbitrários em sua cabeça).

$\ln \hat y$ $\hat y \left( e^{0.09} - 1 \right)$ $\hat y$ $e^{0.09} \approx 1.09$

— shadowtalker
fonte

Fiz alguns ajustes aqui, @ssdecontrol. Acho que eles tornarão sua postagem um pouco mais fácil de seguir, mas se você não gostar, reverta-as com minhas desculpas.

— gung - Restabelece Monica

Se você não consegue descobrir isso com a minha resposta, é claro que preciso revisá-la. Sobre o que você ainda está confuso?

— shadowtalker

Conecte esses números na equação assim como em regressão linear

— shadowtalker

@skan não, quero dizer

E [y | x]

$E[y|x]$ .

x

$x$ and

y

$y$ are random variables representing to a single observation.

x

$x$ is a vector indexed by

j

$j$ ;

x_{j}

$x_j$ is the random variable representing a specific feature/regressor/input/predictor for that observation.

— shadowtalker

And don't overthink it. Once you understand all the pieces in a GLM, the manipulations here are just a direct application of calculus principles. It really is as simple as taking the derivative with respect to the variable you're interested in.

— shadowtalker

My suggestion would be to create a small grid consisting of combinations of the two rivers and two or three values of each of the covariates, then use the predict function with your grid as newdata. Then graph the results. It is much clearer to look at the values that the model actually predicts. You may or may not want to back-transform the predictions to the original scale of measurement (type = "response").

— Russ Lenth
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As much as I like this approach (I do it all the time) I think it's counterproductive for building understanding.

— shadowtalker