Por que a regressão glmnet ridge está me dando uma resposta diferente do cálculo manual?

Estou usando o glmnet para calcular estimativas de regressão de crista. Eu obtive alguns resultados que me fizeram suspeitar que o glmnet está realmente fazendo o que eu acho que ele faz. Para verificar isso, escrevi um script R simples, onde comparo o resultado da regressão de cume feita por resolve e a do glmnet, a diferença é significativa:

n    <- 1000
p.   <-  100
X.   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

beta1 <- solve(t(X)%*%X+5*diag(p),t(X)%*%Y)
beta2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, lambda=10, intercept=FALSE, standardize=FALSE, 
                family="gaussian")$beta@x
beta1-beta2

A norma da diferença é geralmente em torno de 20, o que não pode ser devido a algoritmos numericamente diferentes, devo estar fazendo algo errado. Quais são as configurações que tenho que definir glmnetpara obter o mesmo resultado que o cume?

A diferença que você está observando se deve à divisão adicional pelo número de observações, N, que o GLMNET usa em sua função objetivo e padronização implícita de Y por seu desvio padrão da amostra, como mostrado abaixo.

$$\frac{1}{2N}\left\|\frac{y}{s_y}-X\beta\right\|^2_{2}+\lambda\|\beta\|^2_{2}/2$$

onde usamos no lugar de 1 / ( n - 1 ) para s y , s y = ∑ i ( y i - ˉ y ) $1/n$$1/(n-1)$$s_y$

$$s_y=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})^2}{n}$$

Ao diferenciar em relação ao beta, definir a equação para zero,

$$X^TX\beta-\frac{X^Ty}{s_y}+N\lambda\beta =0$$

E resolvendo para beta, obtemos a estimativa,

$$\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}\frac{X^Ty}{s_y}$$

Para recuperar as estimativas (e as respectivas penalidades correspondentes) na métrica original de Y, o GLMNET multiplica as estimativas e as lambdas por e retorna esses resultados ao usuário,$s_y$

Xunstd. =

$$\hat{\beta}_{GLMNET}=s_y\tilde{\beta}_{GLMNET}= (X^TX+N\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$ $$\lambda_{unstd.}=s_y\lambda$$

Compare esta solução com a derivação padrão da regressão de crista.

$$\hat{\beta}= (X^TX+\lambda I_p)^{-1}X^Ty$$

Observe que é dimensionado por um fator extra de N. Além disso, quando usamos a função ou , a penalidade será implicitamente dimensionada em 1 / s y . Ou seja, quando usamos essas funções para obter as estimativas do coeficiente para alguns λ ∗ , estamos efetivamente obtendo estimativas para λ = λ ∗ / s y .$\lambda$predict()coef()$1/s_y$$\lambda^*$$\lambda=\lambda^*/s_y$

Com base nestas observações, a pena utilizados em GLMNET necessita de ser dimensionado por um factor de .$s_y/N$

set.seed(123)

n    <- 1000
p   <-  100
X   <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y    <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

beta1 <- solve(t(X)%*%X+10*diag(p),t(X)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

           [,1]        [,2]
[1,]  0.23793862  0.23793862
[2,]  1.81859695  1.81859695
[3,] -0.06000195 -0.06000195
[4,] -0.04958695 -0.04958695
[5,]  0.41870613  0.41870613
[6,]  1.30244151  1.30244151
[7,]  0.06566168  0.06566168
[8,]  0.44634038  0.44634038
[9,]  0.86477108  0.86477108
[10,] -2.47535340 -2.47535340

Os resultados generalizam para a inclusão de uma interceptação e variáveis ​​X padronizadas. Modificamos uma matriz X padronizada para incluir uma coluna de unidades e a matriz diagonal para ter uma entrada zero adicional na posição [1,1] (isto é, não penaliza a interceptação). Em seguida, você pode padronizar as estimativas pelos respectivos desvios padrão da amostra (verifique novamente se você está usando 1 / n ao calcular o desvio padrão).

$$\hat\beta_{j}=\frac{\tilde{\beta_j}}{s_{x_j}}$$

$$\hat\beta_{0}=\tilde{\beta_0}-\bar{x}^T\hat{\beta}$$

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)
X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}
X_scaled_ones <- cbind(rep(1,n), X_scaled)

beta3 <- solve(t(X_scaled_ones)%*%X_scaled_ones+1000*diag(x = c(0, rep(1,p))),t(X_scaled_ones)%*%(Y))[,1]
beta3 <- c(beta3[1] - crossprod(mean_x,beta3[-1]/sd_x), beta3[-1]/sd_x)

fit_glmnet2 <- glmnet(X,Y, alpha=0, thresh = 1e-20)
beta4 <- as.vector(coef(fit_glmnet2, s = sd_y*1000/n, exact = TRUE))

cbind(beta3[1:10], beta4[1:10])
             [,1]        [,2]
 [1,]  0.24534485  0.24534485
 [2,]  0.17661130  0.17661130
 [3,]  0.86993230  0.86993230
 [4,] -0.12449217 -0.12449217
 [5,] -0.06410361 -0.06410361
 [6,]  0.17568987  0.17568987
 [7,]  0.59773230  0.59773230
 [8,]  0.06594704  0.06594704
 [9,]  0.22860655  0.22860655
[10,]  0.33254206  0.33254206

Adicionado código para mostrar X padronizado sem interceptação:

set.seed(123)

n <- 1000
p <-  100
X <- matrix(rnorm(n*p,0,1),n,p)
beta <- rnorm(p,0,1)
Y <- X%*%beta+rnorm(n,0,0.5)

sd_y <- sqrt(var(Y)*(n-1)/n)[1,1]

mean_x <- colMeans(X)
sd_x <- sqrt(apply(X,2,var)*(n-1)/n)

X_scaled <- matrix(NA, nrow = n, ncol = p)
for(i in 1:p){
    X_scaled[,i] <- (X[,i] - mean_x[i])/sd_x[i] 
}

beta1 <- solve(t(X_scaled)%*%X_scaled+10*diag(p),t(X_scaled)%*%(Y))[,1]

fit_glmnet <- glmnet(X_scaled,Y, alpha=0, standardize = F, intercept = 
FALSE, thresh = 1e-20)
beta2 <- as.vector(coef(fit_glmnet, s = sd_y*10/n, exact = TRUE))[-1]
cbind(beta1[1:10], beta2[1:10])

             [,1]        [,2]
 [1,]  0.23560948  0.23560948
 [2,]  1.83469846  1.83469846
 [3,] -0.05827086 -0.05827086
 [4,] -0.04927314 -0.04927314
 [5,]  0.41871870  0.41871870
 [6,]  1.28969361  1.28969361
 [7,]  0.06552927  0.06552927
 [8,]  0.44576008  0.44576008
 [9,]  0.90156795  0.90156795
[10,] -2.43163420 -2.43163420

De acordo com https://web.stanford.edu/~hastie/glmnet/glmnet_alpha.html , quando a família estiver gaussian, glmnet()deve minimizar

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda\sum_{j=1}^p(\alpha|\beta_j| +(1-\alpha)\beta_j^2/2). \tag{1}$$

Ao usar glmnet(x, y, alpha=1)para ajustar o laço com as colunas em$x$ padronizada, a solução para a penalidade relatada $\lambda$ é a solução para minimizar

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \sum_{j=1}^p |\beta_j|.$$ No entanto, pelo menos em glmnet_2.0-13, ao usar glmnet(x, y, alpha=0)para ajustar a regressão de crista, a solução para uma penalidade relatada$\lambda$ é a solução para minimizar $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\lambda \frac{1}{2s_y} \sum_{j=1}^p \beta_j^2.$$ Onde $s_y$ é o desvio padrão de $y$. Aqui, a penalidade deveria ter sido relatada como$\lambda/s_y$.

O que pode acontecer é que a função primeiro padronize $y$ para $y_0$ e depois minimiza

$$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_{0i}-x_i^T\gamma)^2 +\eta \sum_{j=1}^p(\alpha|\gamma_j| +(1-\alpha)\gamma_j^2/2), \tag{2}$$ que efetivamente é minimizar $$\frac{1}{2n s_y^2} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta \frac{\alpha}{s_y} \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta \frac{1-\alpha}{2s_y^2} \sum_{j=1}^p \beta_j^2,$$ ou equivalente, para minimizar $$\frac{1}{2n} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-x_i^T\beta)^2 +\eta s_y \alpha \sum_{j=1}^p |\beta_j| +\eta (1-\alpha) \sum_{j=1}^p \beta_j^2/2.$$

Para o laço ($\alpha=1$), dimensionamento $\eta$ de volta para relatar a penalidade como $\eta s_y$faz sentido. Então para todos$\alpha$, $\eta s_y$ deve ser relatado como uma penalidade para manter a continuidade dos resultados $\alpha$. Provavelmente, essa é a causa do problema acima. Isso se deve em parte ao uso de (2) para resolver (1). Apenas quando$\alpha=0$ ou $\alpha=1$ existe alguma equivalência entre os problemas (1) e (2) (ou seja, uma correspondência entre os $\lambda$ em (1) e o $\eta$em 2)). Para qualquer outro$\alpha\in(0,1)$, os problemas (1) e (2) são dois problemas de otimização diferentes e não há correspondência individual entre os $\lambda$ em (1) e o $\eta$ em 2).