Quadrado R na regressão quantílica

Estou usando a regressão quantílica para encontrar preditores do percentil 90 dos meus dados. Estou fazendo isso no R usando o quantregpacote. Como posso determinar $r^2$ para a regressão quantílica, que indicará quanto da variabilidade está sendo explicado pelas variáveis ​​preditoras?

O que eu realmente quero saber: "Qualquer método que eu possa usar para descobrir quanto da variabilidade está sendo explicado?". Os níveis de significância por valores de P está disponível na saída de comando: summary(rq(formula,tau,data)). Como posso obter qualidade de ajuste?

Koenker e Machado [ 1 ] descrevem R 1 , uma medida local de qualidade de ajuste no (nomeadamente τ ) quantil.$^{[1]}$$R^1$$\tau$

Seja $V(\tau) = \min_{b}\sum \rho_\tau(y_i-x_i'b)$

Deixe β ( τ ) e ~ β ( τ ) ser as estimativas dos coeficientes para o modelo completo, e um modelo restrito, e deixá- V e ~ V ser os correspondentes termos.$\hat{\beta}(\tau)$$\tilde{\beta}(\tau)$$\hat{V}$$\tilde{V}$$V$

Eles definem o critério de qualidade de ajuste .$R^1(\tau) = 1-\frac{\hat{V}}{\tilde{V} }$

Koenker dá código para aqui ,$V$

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
V <- sum(rho(f$resid, f$tau))

Então, se nós de computação para um modelo com uma interceptação-only ( ~ V - ou , no trecho de código abaixo) e, em seguida, um modelo irrestrito ( V ), podemos calcular um que é - pelo menos teoricamente - um pouco como o de costume R 2 .$V$$\tilde{V}$V0$\hat{V}$R1 <- 1-Vhat/V0$R^2$

Editar: no seu caso, é claro, o segundo argumento, que seria colocado onde f$tauestá a chamada na segunda linha de código, será o valor que tauvocê usou. O valor na primeira linha apenas define o padrão.

'Explicar variação sobre a média' não é realmente o que você está fazendo com a regressão quantílica; portanto, você não deve esperar ter uma medida realmente equivalente.

Eu não acho que o conceito de traduz bem a regressão quantílica. Você pode definir várias quantidades mais ou menos análogas, como aqui, mas não importa o que você escolhe, você não terá a maioria das propriedades reais R 2 tem em regressão OLS. Você precisa ser claro sobre quais propriedades precisa e o que não precisa - em alguns casos, pode ser possível ter uma medida que faça o que você deseja.$R^2$$R^2$

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Koenker, R e Machado, J (1999), Goodness of Fit e processos de inferência relacionados para regressão quantílica, Journal of the American Statistical Association,94: 448, 1296-1310.$[1]$

O pseudo- medida sugerido por Koenker e Machado (1999) em JASA mede qualidade do ajuste por comparação da soma de desvios ponderados para o modelo de interesse com a mesma soma a partir de um modelo em que apenas os aparece interceptam. É calculado como$R^2$

onde y i = ct τ + p τ x é o equipada τ th quantil para observação i , e ˉ y = p τ é o valor ajustado do modelo apenas de intercepção.$\hat y_i =\alpha_{\tau}+\beta_{\tau}x$$\tau$$i$$\bar y=\beta_{\tau}$

deve estar em [ 0 , 1 ] , onde 1 corresponderia a um ajuste perfeito, pois o numerador que consiste na soma ponderada dos desvios seria zero. É umlocal demedida de ajuste para QRM uma vez que depende τ , ao contrário do mundial R 2 de OLS. Essa é sem dúvida a fonte dos avisos sobre o uso: se você modelar se encaixa na cauda, ​​não há garantia de que se encaixa bem em qualquer outro lugar. Essa abordagem também pode ser usada para comparar modelos aninhados.$R_1(\tau)$$[0,1]$$\tau$$R^2$

Aqui está um exemplo em R:

library(quantreg)
data(engel)

fit0 <- rq(foodexp~1,tau=0.9,data=engel)
fit1 <- rq(foodexp~income,tau=0.9,data=engel)

rho <- function(u,tau=.5)u*(tau - (u < 0))
R1 <- 1 - fit1$rho/fit0$rho

Provavelmente isso poderia ser realizado de maneira mais elegante.