Gerando valores de uma distribuição gaussiana multivariada

Atualmente, estou tentando valores simulados de um -dimensional variável aleatória que tem uma distribuição normal com média multivariada vetor e matriz de covariância . $N$ $X$ $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ $S$

Eu estou esperando para utilizar um procedimento similar ao método inverso CDF, o que significa que Quero primeiro gerar um -dimensional uniforme variável aleatória e, em seguida, ligar em que o CDF inversa desta distribuição, de modo a gerar o valor . $N$ $U$ $X$

Estou tendo problemas porque o procedimento não está bem documentado e há pequenas diferenças entre a função mvnrnd no MATLAB e uma descrição que encontrei na Wikipedia .

No meu caso, também estou escolhendo os parâmetros da distribuição aleatoriamente. Em particular, eu cada um dos meios, , a partir de uma distribuição uniforme . Em seguida, construo a matriz de covariância usando o seguinte procedimento: $\mu_i$ $U(20,40)$ $S$

Crie uma matriz triangular inferior onde para e para $L$ $L(i,i) = 1$ $i=1..N$ $L(i,j) = U(-1,1)$ $i < j$
Deixe em que indica a transposição de . $S = LL^T$ $L^T$ $L$

Este procedimento me permite garantir que seja simétrico e positivo positivo. Ele também fornece uma matriz triangular inferior modo que , que acredito ser necessária para gerar valores a partir da distribuição. $S$ $L$ $S = LL^T$

Usando as diretrizes da Wikipedia, eu poderia gerar valores de usando um uniforme dimensional da seguinte maneira: $X$ $N$

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

De acordo com a função MATLAB, no entanto, isso geralmente é feito como:

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

Onde é o inverso de uma CDF -dimensional distribuição, separável, normal, e a única diferença entre os dois métodos é simplesmente se a utilização ou . $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ $L^T$

MATLAB ou Wikipedia são o caminho a percorrer? Ou ambos estão errados?

— Berk U.
fonte

Como afirmado, ambos estão errados porque é um vetor de linha enquanto deve ser um vetor de coluna. Quando você ajusta suas linhas e colunas, essa pergunta deve responder-se simplesmente identificando qual versão de ou fornece uma matriz e qual versão dá apenas um número: cheque que você pode calcular a expectativa da versão matriz e que dá .

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$

S

$S$

— whuber

@whuber Yeap. Fez as alterações na formatação da pergunta. Obrigado pela dica - definitivamente a maneira mais fácil de verificar.

— Berk U.

Se é um vector de coluna de padrão normal de RV, em seguida, se definir , a covariância dos é . $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$

Eu acho que o problema que você está tendo pode surgir do fato de que a função mvnrnd do matlab retorna vetores de linha como amostras, mesmo se você especificar a média como um vetor de coluna. por exemplo,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

E observe que a transformação de um vetor de linha fornece a fórmula oposta. se é um vetor de linha, também é um vetor de linha, então é um vetor de coluna e a covariância de pode ser escrita . $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

Baseado no que você escreveu, porém, a fórmula Wikipedia está correto: se foram um vetor linha devolvida pelo Matlab, você não pode deixou-multiplicá-lo por . (Mas multiplicar à direita por forneceria uma amostra com a mesma covariância de ). $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— jpillow
fonte

Observe que a ajuda para mvnrnd no matlab usa como o número de amostras; o número de dimensões é . Portanto, se você pedir amostras de um normal multivariado dimensional, ele as retornará como uma matriz

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$

— jpillow