Teste de cointegração entre duas séries temporais usando o método de duas etapas de Engle – Granger

Estou procurando testar a cointegração entre duas séries temporais. Ambas as séries têm dados semanais que abrangem ~ 3 anos.

Estou tentando fazer o método de duas etapas da Engle-Granger. Minha ordem de operações segue.

1. Teste cada série temporal para obter a raiz da unidade através do Dickey-Fuller aumentado.
2. Supondo que ambos tenham raízes unitárias, encontre a aproximação linear do relacionamento via OLS. Em seguida, crie uma série dos resíduos.
3. Teste os resíduos da raiz da unidade através do Dickey-Fuller aumentado.
4. Conclua a cointegração (ou não) pelo resultado de 3.

Questões:

1. Esse método parece bem? (Sou formado e pretendo analisar meus dados de maneira legítima, não necessariamente para analisá-los pelo método mais rigoroso conhecido.)
2. Se uma série não puder rejeitar a hipótese nula com o ADF (e, portanto, não tiver uma raiz unitária) na etapa 1, é razoável concluir que as duas séries não são cointegradas porque um conjunto de dados não é estacionário? Acho que não, mas quero ter certeza.
3. Ambos os conjuntos de dados parecem "estocásticos", portanto, estou me perguntando se é apropriado usar o OLS para medir o relacionamento e obter os resíduos.

Em primeiro lugar considerar duas séries de tempo, e X 2 t o qual ambos são I ( 1 ) , ou seja, ambas as séries de conter uma unidade de raiz. Se essas duas séries cointegrarem, existirão coeficientes μ e β 2 tais que: $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

irá definir um equilíbrio. Para testar a cointegração usando a abordagem em duas etapas da Engle-Granger,

$\\$ 1) Teste a série, e X 2 t para raízes unitárias. Se ambos são$x{}_{1t}$$x_{2t}$ , prossiga para a etapa 2).$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Execute a equação de regressão definida acima e salve os resíduos. I definir um novo termo “correção de .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Teste os resíduos ( ) para uma raiz unitária. Observe que este teste é o mesmo que um teste de não cointegração, pois, sob a hipótese nula, os resíduos não são estacionários. Se, no entanto, houver cointegração, os resíduos devem ser estacionários. Lembre-se de que a distribuição para o teste residual do ADF não é a mesma das distribuições DF usuais e dependerá da quantidade de parâmetros estimados na regressão estática acima, uma vez que variáveis ​​adicionais na regressão estática mudarão as distribuições DF para a distribuição DF. esquerda. Os valores críticos de 5% para um parâmetro estimado na regressão estática com uma constante e uma tendência são -3,34 e -3,78, respectivamente. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Se você rejeitar o nulo de uma raiz de unidade nos resíduos (nulo de não cointegração), não poderá rejeitar que as duas variáveis ​​cointegram. $\\$

5) Se você deseja configurar um modelo de correção de erros e investigar o relacionamento de longo prazo entre as duas séries, recomendo que você configure um modelo de ADL ou ECM, pois há uma pequena amostra de tendência anexada ao Engle- Regressão estática de Granger e não podemos dizer nada sobre a significância dos parâmetros estimados na regressão estática, pois a distribuição depende de parâmetros desconhecidos. Para responder às suas perguntas: 1) Como visto acima, o método está correto. Eu só queria salientar que os valores críticos dos testes residuais não são os mesmos que os valores críticos usuais do teste do ADF. $\\$

$\\$

(2) Se uma das séries é estacionária, ou seja, e a outra é I ( 1 $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$ elas não podem ser cointegradas, uma vez que a cointegração implica que compartilhem tendências estocásticas comuns e que uma relação linear entre elas seja estacionária, pois o estocástico as tendências serão canceladas e, assim, produzirão um relacionamento estacionário. Para ver isso, considere as duas equações: $\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

Note-se que , x 1 t ∼ I ( 1 ) , x 2 t ∼ I ( 1 ) , u t = β ′ x t ∼ I ( 0 ) , ε 1 t ∼ i . i . d $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

Primeiro resolvemos a equação e obtemos $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

Conecte esta solução na equação para obter: $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

Vemos nas duas séries compartilhar uma tendência estocástica comum. Podemos então definir um vetor de cointegração $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$ tal que: $\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

We see that by defining a correct cointegrating vector the two stochastic trends cancel and the relationship between them is stationary ($u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$). If $x_{1t}$ was $I\left(0\right)$ then the stochastic trend in $x_{2t}$ would not be deleted by defining a cointegrating relationship. So yes you need both your series to be $I\left(1\right)$! $\\$

$\\$

(3) The last question. Yes OLS is valid to use on the two stochastic series since it can be shown that the OLS estimator for the static regression (Eq. $\left(1\right)$) will be super consistent (variance converges to zero at $T^{-2}$) when both series are $I\left(1\right)$ and when they cointegrate. So if you find cointegration and your series are $I\left(1\right)$ your estimates will be super consistent. If you do not find cointegration then the static regression will not be consistent. For further readings see the seminal paper by Engle and Granger, 1987, Co-Integration, Error Correction: Representation, Estimation and Testing.