Que distribuição assume o teste exato de Fisher?

No meu trabalho, vi vários usos do teste exato de Fisher e fiquei imaginando quão bem ele se encaixa nos meus dados. Olhando para várias fontes, entendi como calcular a estatística, mas nunca vi uma explicação clara e formal da hipótese nula assumida.

Alguém pode me explicar ou me encaminhar para uma explicação formal da distribuição assumida? Será grato por uma explicação em termos dos valores na tabela de contingência.

No caso , a suposição distributiva é dada por duas variáveis ​​aleatórias binomiais independentes e . A hipótese nula é a igualdade . Mas o teste exato de Fisher é um teste condicional: ele depende da distribuição condicional de dado . Essa distribuição é uma distribuição hipergeométrica com um parâmetro desconhecido: a razão de chances e depois a hipótese nula é .$2\times 2$$X_1 \sim Bin(n_1, \theta_1)$$X_2 \sim Bin(n_2, \theta_2)$$\theta_1=\theta_2$$X_1$$X_1+X_2$$\psi=\frac{\frac{\theta_1}{1-\theta_1}}{\frac{\theta_2}{1-\theta_2}}$$\psi=1$

Esta distribuição tem sua página da Wikipedia .

Para avaliá-lo com R, você pode simplesmente usar a fórmula que define a probabilidade condicional:

p1 <- 7/27
p2 <- 14/70
x1 <- 7; n1 <- 27
x2 <- 14; n2 <- 56
# 
m <- x1+x2
dbinom(x1, n1, p1)*dbinom(x2, n2, p2)/sum(dbinom(0:m, n1, p1)*dbinom(m-(0:m), n2, p2))
[1] 0.1818838

Ou use a dnoncenhypergeomfunção do MCMCpackpacote:

psi <- p1/(1-p1)/(p2/(1-p2)) # this is the odds ratio
MCMCpack::dnoncenhypergeom(x=x1, n1, n2, x1+x2, psi)
[1] 0.1818838

O chamado teste "exato" de Fisher faz o mesmo tipo de suposições sutis que os fazem.$\chi^2$

• As duas variáveis ​​que estão sendo avaliadas quanto à associação são realmente variáveis ​​politômicas do tipo tudo ou nada, como EUA / Europa mortos / vivos. Se uma ou ambas as variáveis ​​são uma simplificação de um continuum subjacente, a análise de dados categóricos não deve ser realizada.
• Não há outras variáveis ​​relevantes em segundo plano. Se é a variável de resultado e é uma variável que está sendo avaliada para associação com , a probabilidade de é idêntica para todos os sujeitos com fixado em . Tabelas de contingência assumem no sentido de que não há heterogeneidade na distribuição de que não é explicada por . Por exemplo, em um ensaio clínico randomizado estudando o efeito do tratamento A vs. B na probabilidade de morte, aX Y Y = y X x Y X 2 × $Y$$X$$Y$$Y=y$$X$$x$$Y$$X$$2\times 2$O teste da tabela de contingência pressupõe que todo sujeito no tratamento A tenha a mesma probabilidade de morte. [Alguém poderia argumentar que isso é uma suposição muito rigorosa, mas essa posição não reconhece a perda de poder de fazer testes de associação não ajustados.]

O teste de Fisher faz uma suposição não feita por testes incondicionais de associação, como o teste Pearson: que estamos interessados ​​na distribuição marginal "atual" de e , ou seja, estamos condicionando as frequências do categorias de resultados. Isso não é razoável para estudos prospectivos. O uso do teste de Fisher leva ao conservadorismo. Seus valores- são, em média, muito grandes, porque o teste garante que os valores- não sejam muito pequenos. Em média, Pearson -Valores são mais acccurate de Fisher, mesmo com frequências esperadas muito menor do que 5 em algumas das células. X Y Y P P χ 2$\chi^2$$X$$Y$$Y$$P$$P$$\chi^2$ $P$