Estendendo o paradoxo do aniversário para mais de 2 pessoas

No Paradoxo tradicional do aniversário, a pergunta é "quais são as chances de duas ou mais pessoas em um grupo de pessoas compartilharem um aniversário". Estou preso em um problema que é uma extensão disso.$n$

Em vez de saber a probabilidade de duas pessoas compartilharem um aniversário, preciso estender a pergunta para saber qual é a probabilidade de ou mais pessoas compartilharem um aniversário. Com você pode fazer isso calculando a probabilidade de duas pessoas não compartilharem um aniversário e subtraí-lo de , mas acho que não posso estender essa lógica para números maiores de .$x$$x=2$$1$$x$

Para complicar ainda mais isso, também preciso de uma solução que funcione para números muito grandes para (milhões) e (milhares).$n$$x$

Esse é um problema de contagem: existem possíveis atribuições de aniversários para pessoas. Dessas, seja o número de atribuições para as quais nenhum aniversário é compartilhado por mais de pessoas, mas pelo menos um aniversário é realmente compartilhado por pessoas. A probabilidade que procuramos pode ser encontrada somando para valores apropriados de e multiplicando o resultado por . b n q ( k ; n , b ) k k q ( k ; n , b ) k b - $b^n$$b$$n$$q(k; n, b)$$k$$k$$q(k;n,b)$$k$$b^{-n}$

Essas contagens podem ser encontradas exatamente para valores de inferiores a várias centenas. No entanto, eles não seguirão nenhuma fórmula direta: precisamos considerar os padrões de maneiras pelas quais os aniversários podem ser atribuídos . Ilustrarei isso em vez de fornecer uma demonstração geral. Seja (esta é a menor situação interessante). As possibilidades são:n = $n$$n = 4$

• Cada pessoa tem um aniversário único; o código é {4}.
• Exatamente duas pessoas compartilham um aniversário; o código é {2,1}.
• Duas pessoas têm um aniversário e as outras duas têm outro; o código é {0,2}.
• Três pessoas compartilham um aniversário; o código é {1,0,1}.
• Quatro pessoas compartilham um aniversário; o código é {0,0,0,1}.

Geralmente, o código é uma tupla de contagens cujo elemento estipula quantas datas de nascimento distintas são compartilhadas por exatamente pessoas. Assim, em particular,k th$\{a[1], a[2], \ldots\}$$k^\text{th}$$k$

Observe, mesmo neste caso simples, que existem duas maneiras pelas quais é atingido o máximo de duas pessoas por aniversário: uma com o código e outra com o código .{ 2 , 1 $\{0,2\}$$\{2,1\}$

Podemos contar diretamente o número possível de atribuições de aniversário correspondentes a qualquer código. Este número é o produto de três termos. Um é um coeficiente multinomial; conta o número de maneiras de particionar pessoas em grupo de , grupo de e assim por diante. Como a sequência de grupos não importa, temos que dividir esse coeficiente multinomial por ; seu recíproco é o segundo termo. Por fim, alinhe os grupos e atribua a cada um aniversário: há candidatos para o primeiro grupo,a [ 1 ] 1 a [ 2 ] 2 a [ 1 ] ! a [ 2 $n$$a[1]$$1$$a[2]$$2$b b - 1 b ( a [ 1 ] + a [ 2 ] + ⋯ ) b ( m ) b ( b - 1 ) ⋯ ( b - m + 1 $a[1]!a[2]!\cdots$$b$$b-1$para o segundo e assim por diante. Esses valores devem ser multiplicados juntos, formando o terceiro termo. É igual ao "produto fatorial" onde significa .$b^{(a[1]+a[2]+\cdots)}$$b^{(m)}$$b(b-1)\cdots(b-m+1)$

Existe uma recursão óbvia e bastante simples relacionando a contagem de um padrão à contagem do padrão . Isso permite o cálculo rápido das contagens para valores modestos de . Especificamente, representa as datas de nascimento de compartilhadas por exatamente pessoas cada. Depois que esses grupos de pessoas foram retirados das pessoas, o que pode ser feito de maneiras distintas (digamos), resta contar o número de maneiras de alcançar o padrão{ a [ 1 ] , … , a [ k - 1 ] } $\{a[1], \ldots, a[k]\}$$\{a[1], \ldots, a[k-1]\}$$n$a [ k ] k um [ k ] k n X { um [ 1 ] , ... , um [ k - 1 ] } $a[k]$$a[k]$$k$$a[k]$$k$$n$$x$$\{a[1], \ldots, a[k-1]\}$entre as pessoas restantes. Multiplicar por fornece a recursão.$x$

Duvido que exista uma fórmula de forma fechada para , que é obtida somando as contagens para todas as partições de cujo termo máximo é igual a . Deixe-me oferecer alguns exemplos:n $q(k; n, b)$$n$$k$

Com (cinco possíveis aniversários) (quatro pessoas), obtemosn = $b=5$$n=4$

Daí, por exemplo, a chance de três ou mais pessoas em quatro compartilharem o mesmo "aniversário" (em datas possíveis) é igual a .( 80 + 5 ) / 625 = $5$$(80 + 5)/625 = 0.136$

Como outro exemplo, tomar e . Aqui estão os valores de para o menor (até seis sig figs):$b = 365$$n = 23$$q( k;23,365)$$k$

Usando essa técnica, podemos calcular prontamente que há cerca de 50% de chance de (pelo menos) uma colisão de três anos entre 87 pessoas, 50% de chance de uma colisão de quatro vias entre 187 e 50% de chance de uma colisão de cinco vias entre 310 pessoas. Esse último cálculo começa a demorar alguns segundos (no Mathematica, pelo menos) porque o número de partições a considerar começa a aumentar. Para substancialmente maior , precisamos de uma aproximação.$n$

Uma aproximação é obtida por meio da distribuição de Poisson com expectativa , porque podemos ver uma atribuição de aniversário como decorrente de variáveis ​​Poisson quase (mas não completamente) independentes, cada uma com expectativa : a variável para qualquer aniversário possível descreve quantas das pessoas têm esse aniversário. A distribuição do máximo é, portanto, aproximadamente onde é o CDF de Poisson. Este não é um argumento rigoroso, então vamos fazer um pequeno teste. A aproximação para , fornece$n/b$$b$$n/b$$n$$F(k)^b$$F$$n = 23$$b = 365$

Comparando com o anterior, você pode ver que as probabilidades relativas podem ser ruins quando são pequenas, mas as probabilidades absolutas são razoavelmente bem aproximadas de cerca de 0,5%. Testar com uma ampla gama de e sugere que a aproximação geralmente é sobre esse bem.$n$$b$

Para finalizar, vamos considerar a pergunta original: pegue (o número de observações) (o número possível de "estruturas", aproximadamente). A distribuição aproximada para o número máximo de "aniversários compartilhados" é$n = 10,000$$b = 1\,000\,000$

(Este é um cálculo rápido.) Claramente, observar uma estrutura 10 vezes em 10.000 seria altamente significativo. Como e são grandes, espero que a aproximação funcione muito bem aqui.$n$$b$

Aliás, como Shane sugeriu, as simulações podem fornecer verificações úteis. Uma simulação do Mathematica é criada com uma função como

simulate[n_, b_] := Max[Last[Transpose[Tally[RandomInteger[{0, b - 1}, n]]]]];

que é iterado e resumido, como neste exemplo, que executa 10.000 iterações do caso , :$n = 10000$$b = 1\,000\,000$

Tally[Table[simulate[10000, 1000000], {n, 1, 10000}]] // TableForm

Sua saída é

2 8503

3 1493

4 4

Essas frequências concordam estreitamente com as previstas pela aproximação de Poisson.

Sempre é possível resolver esse problema com uma solução monte-carlo, embora isso esteja longe de ser o mais eficiente. Aqui está um exemplo simples do problema de duas pessoas no R (de uma apresentação que fiz no ano passado ; usei isso como um exemplo de código ineficiente), que pode ser facilmente ajustado para dar conta de mais de 2:

birthday.paradox <- function(n.people, n.trials) {
    matches <- 0
    for (trial in 1:n.trials) {
        birthdays <- cbind(as.matrix(1:365), rep(0, 365))
        for (person in 1:n.people) {
            day <- sample(1:365, 1, replace = TRUE)
            if (birthdays[birthdays[, 1] == day, 2] == 1) {
                matches <- matches + 1
                break
            }
            birthdays[birthdays[, 1] == day, 2] <- 1
        }
        birthdays <- NULL
    }
    print(paste("Probability of birthday matches = ", matches/n.trials))
}

Esta é uma tentativa de uma solução geral. Pode haver alguns erros, portanto, use com cuidado!

Primeiro alguma notação:

$P(x,n)$ é a probabilidade de que ou mais pessoas compartilhem um aniversário entre pessoas,$x$$n$

$P(y|n)$ é a probabilidade de exatamente pessoas compartilharem um aniversário entre pessoas.$y$$n$

Notas:

1. O abuso de notação como Está sendo usado de duas maneiras diferentes.$P(.)$

2. Por definição, não pode assumir o valor de 1, pois não faz sentido e = 0 pode ser interpretado como significando que ninguém compartilha um aniversário em comum.$y$$y$

A probabilidade requerida é dada por:

$P(x,n) = 1 - P(0|n) - P(2|n) - P(3|n) .... - P(x-1|n)$

Agora,

$P(y|n) = {n \choose y} (\frac{365}{365})^y \ \prod_{k=1}^{k=n-y}(1 -\frac{k}{365})$

Aqui está a lógica: você precisa da probabilidade de exatamente compartilhar um aniversário.$y$

Etapa 1: você pode escolher people de .($y$${n \choose y}$

Etapa 2: como eles compartilham um aniversário, pode ser um dos 365 dias em um ano. Então, basicamente temos 365 opções que nos dão .$(\frac{365}{365})^y$

Passo 3: Os restantes as pessoas não devem compartilhar um aniversário com os primeiros pessoas ou com o outro. Esse raciocínio nos fornece .y ∏ k = n - y k = 1 ( 1 - $n-y$$y$$\prod_{k=1}^{k=n-y}(1 -\frac{k}{365})$

Você pode verificar se, para = 2, o item anterior se reduz à solução padrão de paradoxo de aniversário.$x$