Suficiência ou Insuficiência

Considere uma amostra aleatória que são as variáveis aleatórias iid que . Verifique se é uma estatística suficiente para . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

Em primeiro lugar, como podemos encontrar a distribuição para ? Ou deve ser dividido em e isso seguirá ? Acho que não, porque note que todas as variáveis não são independentes aqui. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

Como alternativa, se eu empregar a condição de fatoração, considerando a pmf conjunta de então que . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Isso mostra que não é suficiente. $T$

Mas e se eu quiser seguir a definição e quiser aplicar para verificar se essa proporção é independente de ? Então eu preciso saber a distribuição de . Qual é então a distribuição de ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
fonte

Dica: você não precisa conhecer a distribuição completa de . Considere, por exemplo, o caso : qual é a distribuição de probabilidade condicional de ?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Se então . Então que depende de , correto?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

Essa é a ideia certa - mas não vejo por que você está adicionando as duas probabilidades. não é um vetor ? (Se desejar, você pode usar o mesmo tipo de cálculo para encontrar a distribuição completa de (ele só pode atingir os valores ), mas isso não é mais necessário, é? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Okay, certo. Obrigado! Então, quando mostramos que essa razão não é independente de para pelo menos uma vez a amostra, estamos prontos! Obrigado. E FELIZ ANO NOVO :)

p

$p$

— Landon Carter

Sim é um vetor, mas mais importante é e a probabilidade . Por favor corrija-me se eu estiver errado.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

Eu tive uma discussão com "whuber" e talvez tenha recebido uma dica (correta?) Para analisar qualquer ponto de amostra: avalie nesse ponto de amostra verifique se essa razão é independente do parâmetro, neste caso . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Então, e . Portanto, avaliamos Agora,Devido à propriedade iid,Também $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Portanto, que é claramente dependente de e, portanto, não é uma estatística suficiente.

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
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