Por que

Uma sequência de estimadores $U_n$ para um parâmetro $\theta$ é assintoticamente normal se $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ . (fonte) Em seguida, chamamos $v$ a variação assintótica de $U_n$ . Se essa variância for igual aolimite Cramer-Rao, dizemos que o estimador / sequência é assintoticamente eficiente.

Pergunta: Por que usamos $\sqrt{n}$ em particular?

Eu sei que para a amostra média, essa escolha a normaliza. Mas como as definições acima se aplicam a mais do que a média da amostra, por que ainda optamos por normalizar por $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ . $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— sem noção
fonte

Para um bom estimador,

deve ter média

, o parâmetro sendo estimado e a variação de

deve convergir para

, ou seja, a distribuição de

deve estar convergindo para uma distribuição degenerada com um único átomo em

. Mas existem muitas maneiras diferentes pelas quais essa convergência pode ocorrer, por exemplo,

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

etc. Desejamos aplicar o soubriquetassintoticamente normalao último caso, mas não ao primeiro.

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

— Dilip Sarwate

Estimadores eficientes são assintoticamente normais. en.wikipedia.org/wiki/…

— Khashaa

Esta questão poderia ser melhor intitulada como "normalidade assintótica" em vez de "eficiência assintótica"? Não está claro para mim onde a "eficiência" se torna um aspecto substantivo da questão, e não apenas o contexto em que a "normalidade assintótica" foi encontrada.

— Silverfish

Basta verificar uma prova da normalidade assintótica do MLE! A raiz quadrada

é tornar um teorema do limite central aplicável a uma amostra média!

n

$n$

— Megadeth

Respostas:

Não podemos escolher aqui. O fator "normalizador", em essência, é um fator "estabilizador de variância para algo finito", de modo que a expressão não chegue a zero ou ao infinito conforme o tamanho da amostra vá ao infinito, mas para manter uma distribuição no limite.

Portanto, tem que ser o que for em cada caso. É claro que é interessante que em muitos casos apareça que deve ser . (mas veja também o comentário do @ whuber abaixo). $\sqrt n$

Um exemplo padrão em que o fator de normalização deve ser , em vez de $n$ é quando temos um modelo $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

com ruído branco, e estimamos o desconhecido por Mínimos Quadrados Ordinários. $u_t$ $\beta$

Se isso acontecer, o valor verdadeiro do coeficiente é , o estimador OLS é consistente e converge no usual $|\beta|<1$ taxa . $\sqrt n$

Mas se o valor verdadeiro for $\beta=1$ (ou seja, na verdade, temos uma caminhada aleatória pura), o estimador OLS é consistente, mas convergirá "mais rápido", na taxa (às vezes é chamado de estimador "superconsistente" - desde , Eu acho, muitos estimadores convergem na taxa $n$ ) Neste caso, para obter a sua distribuição assintótica (não-normal), quetema escalapor(se adaptar apenas por $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ a expressão irá para zero). Hamilton ch 17tem os detalhes. $\sqrt n$

— Alecos Papadopoulos
fonte

Além disso, você poderia esclarecer o que está sendo estimado no modelo

(onde eu presumo que você quis dizer

e as observações estão inscritas em

etc.). Trata-se de que no modelo

o estimador OLS

converge na taxa

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

para

mas quando

convergência está na taxa

, ou é o caso que no modelo

a convergência está sempre na taxa

? Em resumo, qual é o significado da afirmação "e

, isto é, uma caminhada aleatória pura".

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

— usar o seguinte código

@DilipSarwate Thanks. Atualizada. Eu acredito que está claro agora.

— Alecos Papadopoulos

(+1) Pode ser interessante e instrutivo observar que a escolha de

(ou

ou o que for apropriado) não é exclusivo. Em seu lugar, você pode usarqualquerfunção

para a qual o valor limite de

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

é igual a unidade. É apenas nesse sentido mais amplo que

"tem que ser o que tem que ser".

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa O OP perguntou sobre a eficiência assintótica, mas, no processo, foi revelado que o OP pode ter uma impressão errada sobre os fatores de "normalização". Esta é uma questão mais fundamental, por isso escolhi abordar isso na minha resposta. Nada é dito na minha resposta sobre eficiência.

— Alecos Papadopoulos

Talvez valha a pena mencionar na sua resposta que o caso com

vez de

n

$n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

You were on the right track with a sample mean variance intuition. Re-arrange the condition:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

The last equation is informal. However, it's in some way more intuitive: you say that the deviation of $U_n$ from $\theta$ is becoming more like a normal distribution when $n$ increases. The variance is shrinking, but the shape becomes closer to normal distribution.

In math they don't define the convergence to the changing right hand side ( $n$ is varying). That's why the same idea is expressed as the original condition, that you gave. In which the right hand side is fixed, and the left hand side converges to it.

— Aksakal
fonte

You could explain how you do the "re-arrangements". Like what properties you apply.

— mavavilj