Qual é a distribuição do máximo de um par de iid draws, onde o mínimo é uma estatística de ordem de outros mínimos?

Considere desenhos independentes do cdf , definido acima de 0-1, onde e são números inteiros. Agrupe arbitrariamente os sorteios em grupos com valores m em cada grupo. Veja o valor mínimo em cada grupo. Pegue o grupo que tem o maior desses mínimos. Agora, qual é a distribuição que define o valor máximo nesse grupo? De maneira mais geral, qual é a distribuição para a estatística de ésima ordem de draws de , onde a k-ésima ordem desses m também é a enésima ordem dos n-draws da estatística de k-ésima ordem?$n\cdot m$$F(x)$$n$$m$$n$$j$$m$$F(x)$

Tudo isso é no máximo abstrato, então aqui está um exemplo mais concreto. Considere 8 empates de . Agrupe-os em 4 pares de 2. Compare o valor mínimo em cada par. Selecione o par com o maior destes 4 mínimos. Etiqueta que desenha "a". Rotule o outro valor nesse mesmo par como "b". Qual é a distribuição ? Nós sabemos . Sabemos que a é o máximo de 4 mínimos de , de . O que é ?$F(x)$$F_b(b)$$b>a$$F(x)$$F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$$F_b(b)$

Eu respondo: "Agrupe arbitrariamente os sorteios em n grupos com valores m em cada grupo. Observe o valor mínimo em cada grupo. Pegue o grupo que possui o maior desses mínimos. Agora, qual é a distribuição que define o valor máximo? nesse grupo? "
Seja a i-ésima variável aleatória no grupo j ( ) sua função de densidade (cdf). Seja o máximo e o mínimo no grupo . Deixe a variável que resulta no final de todo o processo. Queremos calcular que é$X_{i,j}$$f(x_{i,j})$$F(x_{i,j})$
$X_{\max,j}, X_{\min,j}$$j$$X_{final}$$P(X_{final}<x)$

$$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$$ $$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$$ Agora, deixe e . $Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$$W=X_{1,1}$

Um lembrete: se são iid com pdf (cdf) ( ), então possui pdf e possui pdf . Usando isso, obtemos o pdf de é $X_1,\ldots X_n$$h$$H$$X_{\min}$$h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$$X_{\max}$$h_{max}=nhH^{n-1}$
$Y$

$$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$$

Observe que é uma estatística independente do grupo 1, portanto sua densidade articular com qualquer variável do grupo 1 é o produto de densidades. Agora a probabilidade acima se torna ao tomar derivado deste wrt integrante e usando a fórmula binomial obtém-se a PDF de . $Y$

$$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$$ $$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$$ $x$$X_{final}$

Exemplo: é uniforme, , . Então,$X$$n=4$$m=3$

$$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$$

$$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$$ $$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$$

A média de é e seu sd é .$X_{final}$$374/455=0.822$$0.145$

Como os sorteios são de amostras de um IDI, podemos apenas considerar o sorteio selecionado. Considere . Agora sabemos que é de e que . Assim,$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$$b$$f(x)$$b>a$

$$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$$

O mínimo em um empate de dois é $m$

$$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$$

O maior mínimo entre 4 empates seria

$$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$$

Então finalmente

$$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$$