Estimativa da massa de frutas em uma sacola apenas a partir de totais relacionados?

Um instrutor da minha universidade fez uma pergunta como essa (não para trabalhos de casa, pois a aula terminou e eu não participei). Não consigo descobrir como abordar isso.

A questão diz respeito a 2 sacas cada uma contendo uma variedade de diferentes tipos de frutas:

A primeira sacola contém os seguintes frutos selecionados aleatoriamente:

+ ------------- + -------- + --------- +
| diâmetro cm | massa g | podre? |
+ ------------- + -------- + --------- +
| 17,28 | 139,08 | 0
| 6,57 | 91,48 | 1 |
| 7,12 | 74,23 | 1 |
| 16,52 | 129,8 | 0
| 14,58 | 169,22 | 0
| 6,99 | 123,43 | 0
| 6,63 | 104,93 | 1 |
| 6,75 | 103,27 | 1 |
| 15,38 169,01 1 |
| 7,45 | 83,29 | 1 |
| 13.06 157,57 | 0
| 6,61 | 117,72 | 0
| 7,19 | 128,63 | 0
+ ------------- + -------- + --------- +

A segunda sacola contém 6 frutas selecionadas aleatoriamente na mesma loja que a primeira sacola. A soma de seus diâmetros é de 64,2 cm e 4 estão podres.

Faça uma estimativa para a massa da segunda bolsa.

Vejo que parece haver dois tipos diferentes de frutas com diâmetros e massas normalmente distribuídos, mas estou perdido em como proceder.

Vamos começar plotando os dados e dar uma olhada neles. Como é uma quantidade muito limitada de dados, será um pouco ad hoc com muitas suposições.

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

Portanto, estes são os dados, pontos vermelhos representam frutos podres:

Você está certo ao supor que parece haver dois tipos de frutas. As suposições que faço são as seguintes:

• O diâmetro divide os frutos em dois grupos
• Frutas com diâmetro maior que 10 estão em um grupo, outras no grupo menor.
• Há apenas uma fruta podre no grupo de frutas grandes. Vamos supor que, se uma fruta estiver no grupo grande, ficar podre não afeta o peso. Isso é essencial, pois só temos um ponto de dados nesse grupo.
• Se a fruta é uma fruta pequena, ser podre afeta a massa.
• Vamos assumir que as variáveis ​​diam e massa são normalmente distribuídas.

Como é dado que a soma do diâmetro é 64,2 cm, é mais provável que dois frutos sejam grandes e quatro pequenos. Agora existem 3 casos para o peso. Existem 2, 3 ou 4 frutos pequenos podres ( um fruto grande sendo podre não afeta a massa por suposição ). Então agora você pode obter limites em sua massa calculando esses valores.

Podemos estimar empiricamente a probabilidade de o número de frutos pequenos estar podre. Usamos as probabilidades para ponderar nossas estimativas de massa, dependendo do número de frutos podres:

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

Dando-nos uma estimativa final de 691.5183g . Eu acho que você precisa fazer a maioria das suposições que fiz para chegar a uma conclusão, mas acho que pode ser possível fazer isso de uma maneira mais inteligente. Também faço amostras empiricamente para obter a probabilidade de número de pequenos frutos podres, que é apenas preguiça e pode ser feito "analiticamente".

Eu proporia a seguinte abordagem:

1. Gere todas as 6 tuplas que satisfazem as condições em 4 podres. Eles são .${6\choose 4}{7\choose 2}$
2. Selecione nas tuplas geradas apenas aquelas que satisfazem a condição no diâmetro.
3. Calcule o peso médio das tuplas selecionadas (média aritmética usual).

Tudo isso é gerenciável por um script simples.

Várias abordagens incluem, do mais simples ao complexo,

1. 6 (massa média)
2. 6 (volume médio) (densidade média)
3. 4 (massa podre média) + 2 (massa não podre média)
4. 4 ((volume podre médio) + 2 (volume não podre médio)) (densidade média)
5. 4 (volume podre médio) (densidade podre média) + 2 (volume não podre médio) (densidade não podre média)

. . .

métodos combinatórios

As abordagens são organizadas em ordem de simplicidade de cálculo, não na ordem de qualquer abordagem ser melhor, ou de alguma forma boa. A seleção de qual abordagem usar depende de quais características da população são conhecidas ou assumidas. Por exemplo, se as massas de frutas na população da loja são normalmente distribuídas e independentes de diâmetros e status de podridão, pode-se usar a primeira abordagem mais simples, sem vantagens (ou mesmo desvantagens do erro de amostragem de várias variáveis) do uso de abordagens mais complexas . Se não forem variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma idêntica independentes, uma escolha mais complexa, dependendo das informações conhecidas ou assumidas sobre a população, pode ser melhor.