Estimar a taxa na qual o desvio padrão é escalonado com uma variável independente

Eu tenho um experimento no qual estou fazendo medições de uma variável normalmente distribuída ,$Y$

Entretanto, experimentos anteriores forneceram algumas evidências de que o desvio padrão é uma função afim de uma variável independente , ou seja,$\sigma$$X$

Gostaria para estimar os parâmetros de e por amostragem em vários valores de . Além disso, devido às limitações do experimento, só posso coletar um número limitado (aproximadamente 30-40) de amostras de e preferiria amostrar em vários valores de por razões experimentais não relacionadas. Dadas estas limitações, o que métodos estão disponíveis para estimar e ?b Y X Y X a $a$$b$$Y$$X$$Y$$X$$a$$b$

Descrição da experiência

Esta é uma informação extra, se você estiver interessado em saber por que estou fazendo a pergunta acima. Meu experimento mede a percepção espacial auditiva e visual. I têm uma configuração da experiência em que pode apresentar auditivo ou alvos visuais de diferentes locais, , e sujeitos indicam a localização percebida do alvo, . Tanto a visão * quanto a audição ficam menos precisas com o aumento da excentricidade (ou seja, o aumento de ), que eu modelo como acima. Finalmente, eu gostaria de estimar eY | X | σ a $X$$Y$$|X|$$\sigma$$a$$b$para visão e audição, conheço a precisão de cada sentido em vários locais no espaço. Essas estimativas serão usadas para prever a ponderação relativa dos alvos visuais e auditivos quando apresentados simultaneamente (semelhante à teoria da integração multissensorial apresentada aqui: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/12868643 ).

* Eu sei que esse modelo é impreciso para a visão ao comparar o espaço foveal ao extrafoveal, mas minhas medidas são restritas apenas ao espaço extrafoveal, onde essa é uma aproximação decente.

Em um caso como o seu, no qual você tem um modelo generativo relativamente simples, mas "não-padrão", para o qual gostaria de estimar parâmetros, meu primeiro pensamento seria usar um programa de inferência bayesiano como Stan . A descrição que você forneceu se traduziria muito claramente para um modelo de Stan.

Alguns exemplos de código R, usando RStan (a interface R para Stan).

library(rstan)

model_code <- "
data {
    int<lower=0> n; // number of observations
    real y[n];
    real x[n];
}
parameters {
    real mu; // I've assumed mu is to be fit.
             // Move this to the data section if you know the value of mu.
    real<lower=0> a;
    real<lower=0> b;
}
transformed parameters {
    real sigma[n];
    for (i in 1:n) {
        sigma[i] <- a + b * fabs(x[i]);
    }
}
model {
    y ~ normal(mu, sigma);
}
"

# Let's generate some test data with known parameters

mu <- 0
a <- 2
b <- 1

n <- 30
x <- runif(n, -3, 3)
sigma <- a + b * abs(x)
y <- rnorm(n, mu, sigma)

# And now let's fit our model to those "observations"

fit <- stan(model_code=model_code,
            data=list(n=n, x=x, y=y))

print(fit, pars=c("a", "b", "mu"), digits=1)

Você obterá resultados parecidos com este (embora seus números aleatórios provavelmente sejam diferentes dos meus):

Inference for Stan model: model_code.
4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1; 
post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.

   mean se_mean  sd 2.5%  25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat
a   2.3       0 0.7  1.2  1.8 2.2 2.8   3.9  1091    1
b   0.9       0 0.5  0.1  0.6 0.9 1.2   1.9  1194    1
mu  0.1       0 0.6 -1.1 -0.3 0.1 0.5   1.4  1262    1

Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Thu Jan 22 14:26:16 2015.
For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at 
convergence, Rhat=1).

O modelo convergiu bem (Rhat = 1), e o tamanho efetivo da amostra (n_eff) é razoavelmente grande em todos os casos, portanto, em um nível técnico, o modelo é bem-comportado. As melhores estimativas de , e (na coluna média) são também bastante próximo ao que foi fornecido.b $a$$b$$\mu$

Você não pode esperar fórmulas fechadas, mas ainda pode anotar a função de probabilidade e maximizá-la numericamente. Seu modelo é Então a função de probabilidade de log (exceto um termo que não depende dos parâmetros) se torna e isso é fácil de programar e entregue a um otimizador numérico.

Em R, podemos fazer

make_lik  <-  function(x,y){
    x  <-  abs(x)
    function(par) {
        mu <- par[1];a  <-  par[2];  b <-  par[3]
        axpb <-  a*x+b
        -sum(log(axpb)) -0.5*sum( ((y-mu)/axpb)^2 )
    }
}

Em seguida, simule alguns dados:

> x <-  rep(c(2,4,6,8),10)
> x
 [1] 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4
[39] 6 8
> a <- 1
> b<-  3
> sigma <-  a*x+b
> mu  <-  10
> y  <-  rnorm(40,mu, sd=sigma)

Em seguida, faça a função loglikelihood:

> lik <-  make_lik(x,y)
> lik(c(10,1,3))
[1] -99.53438

Em seguida, otimize-o:

> optim(c(9.5,1.2,3.1),fn=function(par)-lik(par))
$par
[1] 9.275943 1.043019 2.392660

$value
[1] 99.12962

$counts
function gradient 
     136       NA 

$convergence
[1] 0

$message
NULL