Fórmula de Schuette

Eu estava lendo o artigo sobre a fórmula de Schuette-Nesbitt , que é descrita como "uma generalização do princípio de inclusão-exclusão" , que possui versões combinatória e probabilística. Outro site deu uma prova de eventos dependentes (download em pdf) e encontrou um terceiro que o compara ao Teorema de Waring (pdf)

No entanto, ainda estou confuso. Tentei encontrar um exemplo claro e elaborado usando probabilidades discretas (para simplificar) de que as etapas são claras de uma linha para a outra - para ajudar no entendimento geral da fórmula.

Existe uma boa referência ou uma resposta que possa dar um pequeno exemplo elaborado?

probability combinatorics

— sheppa28
fonte

Encontrei um exemplo no livro a seguir e minha resposta é uma versão modificada da Seção 8.4.8.6 do livro para torná-lo conciso e claro.

Gerber, Hans U. "Seguro de vida". Seguro de Vida Matemática. Springer Berlin Heidelberg, 1990.

são eventos arbitrários. é uma variável aleatória variando ao longo do . Para coeficientes reais arbitrários , a fórmula de Schuette – Nesbitt é a seguinte identidade do operador entre o operador de deslocamento e o operador de diferença $B_1,\cdots B_n$ $N$ $\{0, 1, ... , m\}$ $c_1,\cdots c_m$ $E:c_n\mapsto c_{n+1}$ . Por definição, eles estão relacionados via, a fórmula SN é onde $\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$ $E=id+\Delta$

\sum_{n = 0}^{m} c_{n} \cdot P r (N = n) = \sum_{k = 0}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k}

$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$

é a soma simétrica entre esses

eventos e

. Observe que

significa operador de diferença atuando em

. Por exemplo,

S_{k} = \sum_{j_{1}, \dots j_{k}} P r (B_{j 1} \cap \dots \cap B_{j k})

$S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$

n

$n$

S_{0} = 1

$S_0=1$

[Δ^{k} c_{0}]

$[\Delta^{k}c_0]$

c_{0}

$c_0$

. Ambos os operadores são lineares e, portanto, têm representações em termos de matriz; portanto, podem ser estendidos para anéis e módulos polinomiais (uma vez que esses dois objetos têm "base", falando livremente.)

[Δ^{2} c_{0}] = Δ^{1} (c_{1} - c_{0}) = Δ^{1} (c_{1}) - Δ^{1} (c_{0}) = (c_{2} - c_{1}) - (c_{1} - c_{0}) = c_{2} - 2 c_{1} + c_{0}

$[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$

E = (\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 1 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots \end{array})

$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$

Δ = (\begin{array}{ccccc} - 1 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & - 1 & 0 & \dots \\ 0 & 1 & - 1 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots \end{array})

$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$

$\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$ $I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$ $\Delta$

$c_0=1$ $c_1=c_2=\cdots=c_n=1$

\sum_{n = 1}^{m} P r (N = n) = \sum_{k = 0}^{m} Δ^{k} c_{0} S_{k} = c_{0} S_{0} + (c_{1} - c_{0}) S_{1} + (c_{2} - 2 c_{1} + c_{0}) S_{2} + \dots = S_{1} - S_{2} + S_{3} + \dots + (- 1)^{n} S_{n} = [P r (B_{1}) + \dots + P r (B_{n})] - [P r (B_{1} \cap B_{2}) + \dots + P r (B_{n - 1} \cap B_{n})] + \dots + (- 1)^{n} \cdot P r (S_{1} \cap \dots \cap S_{n})

$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$

$r$ $n$ $B_1,\cdots B_n$ $c_r=1$ $c$

P r (N = r) = \sum_{k = 0}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k} = \sum_{k = r}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k}

$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$

[Δ^{k} c_{0}] = 0

$[\Delta^{k}c_0]=0$

k < r

$k<r$

t = k - r

$t=k-r$

Há um exemplo de atribuição de envelope no livro de Gerber que você pode dar uma olhada, mas minha sugestão é entendê-lo em termos de álgebra do operador, em vez de probabilidade.

— Henry.L
fonte

Fórmula de Schuette – Nesbitt