Distribuição que descreve a diferença entre variáveis ​​distribuídas binomiais negativas?

Uma distribuição Skellam descreve a diferença entre duas variáveis ​​que possuem distribuições de Poisson. Existe uma distribuição semelhante que descreva a diferença entre variáveis ​​que seguem distribuições binomiais negativas?

Meus dados são produzidos por um processo de Poisson, mas incluem uma quantidade razoável de ruído, levando a uma dispersão excessiva na distribuição. Assim, modelar os dados com uma distribuição binomial negativa (NB) funciona bem. Se eu quiser modelar a diferença entre dois desses conjuntos de dados NB, quais são minhas opções? Se ajudar, assuma meios e variações semelhantes para os dois conjuntos.

Não sei o nome dessa distribuição, mas você pode derivá-la da lei da probabilidade total. Suponha que tenham distribuições binomiais negativas com parâmetros ( r 1 , p 1 ) e ( r 2 , p 2 ) , respectivamente. Estou usando a parametrização em que X , Y representam o número de sucessos antes das falhas r 1 'e er 2 ', respectivamente. Então,$X, Y$$(r_{1}, p_{1})$$(r_{2}, p_{2})$$X,Y$$r_{1}$$r_{2}$

$$P(X - Y = k) = E_{Y} \Big( P(X-Y = k) \Big) = E_{Y} \Big( P(X = k+Y) \Big) = \sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y)P(X = k+y)$$

Nós sabemos

$$P(X = k + y) = {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

e

$$P(Y = y) = {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y}$$

assim

$$P(X-Y=k) = \sum_{y=0}^{\infty} {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y} \cdot {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

Isso não é bonito (caramba!). A única simplificação que vejo imediatamente é

$$p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} {y+r_{2}-1 \choose y} {k+y+r_{1}-1 \choose k+y}$$

which is still pretty ugly. I'm not sure if this is helpful but this can also be re-written as

$$\frac{ p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} }{ (r_{1}-1)! (r_{2}-1)! } \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} \frac{ (y+r_{2}-1)! (k+y+r_{1}-1)! }{y! (k+y)! }$$

I'm not sure if there is a simplified expression for this sum but it could be approximated numerically if you only need it to calculate $p$-values

I verified with simulation that the above calculation is correct. Here is a crude R function to calculate this mass function and carry out a few simulations

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

I've found the sum converges very quickly for all of the values I tried, so setting UB higher than 10 or so is not necessary. Note that R's built in rnbinom function parameterizes the negative binomial in terms of the number of failures before the $r$'th success, in which case you'd need to replace all of the $p_{1}, p_{2}$'s in the above formulas with $1-p_{1}, 1-p_{2}$ for compatibility.

Yes. skewed generalized discrete Laplace distribution is the difference of two negative binomial distributed random variables. For more clarifications refer the online available article "skewed generalized discrete Laplace distribution" by seetha Lekshmi.V. and simi sebastian