Editar: À luz do comentário do cardeal: Tudo o que digo abaixo é implicitamente sobre a medida de Lebesgue (uma medida completa). Relendo sua pergunta, parece que também é sobre isso que você está perguntando. No caso geral da medida de Borel, pode ser possível estender a medida para incluir seu conjunto (algo que não é possível com a medida de Lebesgue porque ela já é tão grande quanto possível).
A probabilidade de tal evento não seria definida. Período. Assim como uma função com valor real não é definida para um número complexo (não real), uma medida de probabilidade é definida em conjuntos mensuráveis, mas não nos conjuntos não mensuráveis.
Então, que declarações poderíamos fazer sobre esse evento? Bem, para iniciantes, esse evento teria que ser definido usando o axioma da escolha. Isso significa que todos os conjuntos que podemos descrever por alguma regra são excluídos. Ou seja, todos os conjuntos nos quais geralmente estamos interessados são excluídos.
Mas não poderíamos dizer algo sobre a probabilidade de um evento não mensurável? Coloque um limite nele ou algo assim? O paradoxo de Banach-Tarski mostra que isso não vai funcionar. Se a medida do número finito de peças em que Banach-Tarski decompõe a esfera tivesse um limite superior (digamos, a medida da esfera), construindo esferas suficientes, teríamos uma contradição. Por um argumento semelhante ao contrário, vemos que as peças não podem ter um limite inferior não trivial.
Não mostrei que todos os conjuntos não mensuráveis são tão problemáticos, embora eu acredite que uma pessoa mais inteligente do que eu seja capaz de apresentar um argumento que mostre que não podemos, de maneira consistente, colocar qualquer limite não trivial na "medida" "de qualquer conjunto não mensurável (desafio à comunidade).
Em resumo, não podemos fazer nenhuma declaração sobre a medida de probabilidade de um conjunto desse tipo; este não é o fim do mundo, porque todos os conjuntos relevantes são mensuráveis.