Erro aditivo ou erro multiplicativo?

Sou relativamente novo em estatística e gostaria de ajudar a entender melhor isso.

No meu campo, há um modelo comumente usado do formulário:

P_{t} = P_{o} (V_{t})^{α}

$P_t = P_o(V_t)^\alpha$

Quando as pessoas ajustam o modelo aos dados, elas geralmente o linearizam e ajustam os seguintes

registro (P_{t}) = registro (P_{o}) + α registro (V_{t}) + ϵ

$\log(P_t) = \log(P_o) + \alpha \log(V_t) + \epsilon$

Tudo bem? Li em algum lugar que, devido ao ruído no sinal, o modelo real deve ser

P_{t} = P_{o} (V_{t})^{α} + ϵ

$P_t = P_o(V_t)^\alpha + \epsilon$

e isso não pode ser linearizado como acima. Isso é verdade? Se sim, alguém sabe de uma referência que eu possa ler e aprender mais sobre ela e provavelmente citar em um relatório?

— ciaran_r
fonte

Eu formatei suas equações. Verifique se o conteúdo ainda é o que você pretendia (especialmente em relação aos subscritos).

— 21715 Andy

Você sinalizou sua pergunta com "erro de medição" e o + e na terceira equação parece dever-se a um erro de medição aditivo, além de uma variação estocástica / aleatória multiplicativa na resposta, algo como P * (V ^ alpha) * exp (e). Isso está correto? Os modelos de erro de medição (também conhecidos como modelos de "erro nas variáveis") geralmente exigem um tipo de processo em duas etapas, que no seu caso pode exigir dados de validação separados para caracterizar o erro aditivo devido ao "ruído"; nesse caso, pode não haver um precisa linearizar a equação.

— N Brouwer

Qual modelo é apropriado depende de como a variação em torno da média entra nas observações. Pode muito bem vir de forma multiplicativa ou aditiva ... ou de alguma outra maneira.

Pode até haver várias fontes dessa variação, algumas que podem entrar multiplicativamente e outras que entram de maneira aditiva e outras de maneiras que também não podem ser realmente caracterizadas.

Às vezes, existe uma teoria clara para estabelecer qual é o adequado. Às vezes, ponderar as principais fontes de variação sobre a média revelará uma escolha apropriada. Freqüentemente, as pessoas não têm idéia clara de qual uso, ou se várias fontes de variação de diferentes tipos podem ser necessárias para descrever adequadamente o processo.

Com o modelo log-linear, onde a regressão linear é usada:

$\log(P_t)=log(P_o)+α\log(V_t)+ϵ$

o modelo de regressão OLS assume uma variação constante da escala logarítmica e, se for esse o caso, os dados originais mostrarão uma propagação crescente sobre a média à medida que a média aumenta.

Por outro lado, esse tipo de modelo:

$P_t=P_o(V_t)^α+ϵ$

é geralmente ajustado por mínimos quadrados não lineares e, novamente, se a variação constante (o padrão para NLS) for ajustada, a propagação sobre a média deve ser constante.

insira a descrição da imagem aqui

[Você pode ter a impressão visual de que a propagação está diminuindo com o aumento da média na última imagem; na verdade, isso é uma ilusão causada pelo declive crescente - tendemos a julgar a propagação ortogonal à curva, e não verticalmente, para obter uma impressão distorcida.]

Se você tem uma propagação quase constante na escala original ou na logarítmica, isso pode sugerir qual dos dois modelos se encaixa, não porque ela seja aditiva ou multiplicativa, mas porque leva a uma descrição apropriada da propagação, bem como da significar.

Obviamente, pode-se também ter a possibilidade de erro aditivo com variação não constante.

No entanto, ainda existem outros modelos em que essas relações funcionais podem ser ajustadas, com diferentes relações entre média e variância (como um Poisson ou quase-Poisson GLM, que se espalhou proporcionalmente à raiz quadrada da média).

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte