Usando filtros Kalman para atribuir valores ausentes em séries temporais

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Estou interessado em saber como os Filtros Kalman podem ser usados para atribuir valores ausentes nos Dados de Séries Temporais. Também é aplicável se faltarem alguns pontos consecutivos no tempo? Não consigo encontrar muito sobre esse assunto. Quaisquer explicações, comentários e links são bem-vindos e apreciados!

data-imputation kalman-filter

— GS9
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Você pode estar interessado neste post . Ele fornece um exemplo baseado na representação no espaço de estado de um modelo ARIMA para imputar valores ausentes por meio do filtro Kalman.

— javlacalle

@ javlacalle obrigado, eu já conhecia este post e é um ótimo exemplo para uma implementação concreta. Mas estou bastante interessado no referencial teórico.

— GS9 9/03/2015

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Preliminares: filtragem de Kalman :

Os filtros Kalman operam nos modelos de espaço de estado da forma (existem várias maneiras de escrevê-lo; é fácil com base em Durbin e Koopman (2012) ; todos os itens a seguir são baseados nesse livro, o que é excelente):

\begin{aligned} y_{t} & = Z α_{t} + ε_{t} & ε_{t} \sim N (0, H) \\ α_{t_{1}} & = T α_{t} + η_{t} & η_{t} \sim N (0, Q) \\ α_{1} & \sim N (a_{1}, P_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} y_t & = Z \alpha_t + \varepsilon_t \qquad & \varepsilon_t \sim N(0, H) \\ \alpha_{t_1} & = T \alpha_t + \eta_t & \eta_t \sim N(0, Q) \\ \alpha_1 & \sim N(a_1, P_1) \end{align}$

$y_t$ $\alpha_t$

$\alpha_t$ $\alpha_t$ $\alpha_t \sim N(a_t, P_t)$ $\alpha_t$ $t$

$y_t$ $\alpha_{t+1}$

\begin{aligned} a_{t + 1} & = T a_{t} + K_{t} (y_{t} - Z α_{t}) \\ P_{t + 1} & = T P_{t} (T - K_{t} Z)^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t + K_t (y_t - Z \alpha_t) \\ P_{t+1} & = T P_t (T - K_t Z)' + Q \end{align}$

$K_t$

$a_{t+1}$ $P_{t+1}$ $y_t$ $y_t$

\begin{aligned} a_{t + 1} & = T a_{t} \\ P_{t + 1} & = T P_{t} T^{'} + Q \end{aligned}

$\begin{align} a_{t+1} & = T a_t \\ P_{t+1} & = T P_t T' + Q \end{align}$

$\alpha_t$ $\alpha_{t+1}$

$y_t$

Dados de imputação :

$a_t, P_t$ $t = 1, 2, \dots, T$

{\hat{y}}_{t} = Z a_{t}

$\hat y_t = Z a_t$

Quanto a uma referência, Durbin e Koopman (2012) são excelentes; a seção 4.10 discute as observações ausentes.

Durbin, J. & Koopman, SJ (2012). Análise de séries temporais por métodos de espaço de estados (nº 38). Imprensa da Universidade de Oxford.

— cfulton
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Usando a solução mais suave faria mais sentido para imputando (desde que um já tem todos os dados (não falta), por que não usar as informações nos valores futuros, também)

— Juho Kokkala

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O exemplo na postagem que javlacalle aponta em seus comentários apresenta pontos de tempo ausentes consecutivos. Você também pode estar interessado em intervalos em torno dos valores imputados (previstos na amostra), cujo cálculo aparece neste documento do Space State , na seção 2.1.

Outro artigo que pode ser interessante é este .

— Wayne
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