A fórmula para o teste Bayesiano A / B não faz sentido

Estou usando a fórmula do teste ab Bayesiano para calcular os resultados do teste AB usando a metodologia Bayesiana.

Onde

• $\alpha_A$ em um mais o número de sucessos de A
• $\beta_A$ em um mais o número de falhas para A
• $\alpha_B$ em um mais o número de sucessos de B
• $\beta_B$ em um mais o número de falhas para B
• $B$ é a função Beta

Dados de exemplo:

control: 1000 trials with 78 successes
test: 1000 trials with 100 successes

Um teste de suporte não Bayesiano padrão me fornece resultados significativos (p <10%):

prop.test(n=c(1000,1000), x=c(100,78), correct=F)

#   2-sample test for equality of proportions without continuity correction
# 
# data:  c(100, 78) out of c(1000, 1000)
# X-squared = 2.9847, df = 1, p-value = 0.08405
# alternative hypothesis: two.sided
# 95 percent confidence interval:
#  -0.0029398  0.0469398
# sample estimates:
# prop 1 prop 2 
#  0.100  0.078 

enquanto minha implementação da fórmula de Bayes (usando as explicações no link) me deu resultados muito estranhos:

# success control+1
a_control <- 78+1
# failures control+1
b_control <- 1000-78+1
# success control+1
a_test <- 100+1
# failures control+1
b_test <- 1000-100+1

is_control_better <- 0
for (i in 0:(a_test-1) ) {
  is_control_better <- is_control_better+beta(a_control+i,b_control+b_test) / 
                       (b_test+i)*beta(1+i,b_test)*beta(a_control,b_control)

}

round(is_control_better, 4)
# [1] 0

isso significa que é , o que não faz sentido, considerando esses dados.$P(TEST > CONTROL)$$0$

Alguém poderia esclarecer?

No site que você cita, há um aviso

A função beta produz números muito grandes; portanto, se você estiver obtendo valores infinitos em seu programa, trabalhe com logaritmos, como no código acima. A função log-beta da sua biblioteca padrão será útil aqui.

então sua implementação está errada. Abaixo, forneço o código corrigido:

a_A <- 78+1
b_A <- 1000-78+1
a_B <- 100+1
b_B <- 1000-100+1

total <- 0

for (i in 0:(a_B-1) ) {
  total <- total + exp(lbeta(a_A+i, b_B+b_A)
                       - log(b_B+i)
                       - lbeta(1+i, b_B)
                       - lbeta(a_A, b_A))

}

Emite total = 0,9576921, ou seja, "probabilidades de que B vencerá A no longo prazo" (citando seu link), o que parece válido, já que B no seu exemplo tem uma proporção maior. Assim, é não uma p -valor mas sim uma probabilidade de que B é maior, em seguida, A (você não esperava que fosse <0,05).

Você pode executar as simulações simples para verificar os resultados:

set.seed(123)

# does Binomial distributions with proportions
# from your data give similar estimates?

mean(rbinom(n, 1000, a_B/1000)>rbinom(n, 1000, a_A/1000))

# and does values simulated in a similar fashion to
# the model yield similar results?

fun2 <- function(n=1000) {
  pA <- rbeta(1, a_A, b_A)
  pB <- rbeta(1, a_B, b_B)
  mean(rbinom(n, 1000, pB) > rbinom(n, 1000, pA))
}

summary(replicate(1000, fun2(1000)))

Nos dois casos, a resposta é sim.

Quanto ao código, observe que o loop for é desnecessário e geralmente eles tornam as coisas mais lentas no R; portanto, você pode usar alternativamente vapplypara um código mais limpo e um pouco mais rápido:

fun <- function(i) exp(lbeta(a_A+i, b_B+b_A)
             - log(b_B+i)
             - lbeta(1+i, b_B)
             - lbeta(a_A, b_A))

sum(vapply(0:(a_B-1), fun, numeric(1)))