Se são beta independentes, então mostra também é beta

Aqui está um problema que surgiu em um exame semestral em nossa universidade, alguns anos atrás, e estou lutando para resolver.

Se são variáveis aleatórias independentes com densidades e respectivamente, mostram que segue . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Usei o método jacobiano para obter que a densidade de é a seguinte: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Eu estou perdido neste momento, na verdade. Agora, no jornal principal, descobri que uma dica havia sido fornecida. Tentei usar a dica, mas não consegui obter as expressões desejadas. A dica é literalmente da seguinte maneira:

Dica: Derive uma fórmula para a densidade de em termos das densidades especificadas de e e tente usar uma alteração de variável com . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

Portanto, neste ponto, tento fazer uso dessa dica considerando essa alteração de variável. Portanto, recebo, que, após simplificação, acaba sendo (escrevendo para )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Eu realmente não sei como proceder. Eu nem tenho certeza de que estou interpretando a dica corretamente. Enfim, aqui vai o resto da dica:

Observe que, usando a alteração da variável , a densidade necessária pode ser expressa de duas maneiras para obter a média de Agora divida o intervalo de integração em e e escreva e prossiga com . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Bem, honestamente, não consigo entender como se pode usar essas dicas: parece que estou chegando a lugar nenhum. A ajuda é apreciada. Desde já, obrigado.

— Landon Carter
fonte

Eu já vi um problema semelhante antes do qual compilei algumas referências. Veja arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

— Sid

@ Sid Desculpe, mas não encontrei esse problema nessas referências ou em algo semelhante. Você poderia indicar os lugares? Obrigado!!

— Landon Carter

Tem certeza de que aplicou o método jacobiano corretamente? Se fizer isso, obtenho: Acho que você também precisará da duplicação fórmula , consulte en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

Aparentemente, parece que as fórmulas são as mesmas. Talvez você precise usar a alteração da variável em sua fórmula para obter a minha. Eu estou falando sobre o jacobiano.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Landon Carter

Eu não acho que eles são iguais. Fazendo a alteração da variável mencionada na minha fórmula, recebo algo um pouco mais simples do que o que você tem na primeira integral do seu OP.

— StijnDeVuyst 23/03

Eu provaria isso de uma maneira diferente, usando funções geradoras de momento. Ou de modo equivalente, mostrando que o th momento de é igual à th momento de uma variável aleatória com de distribuição. Se assim é para todos os pontos , então, pela força do problema do momento, o exercício é comprovado. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

Para a última parte, obtém-se a partir de http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments que o th momento de é Agora, para a primeira parte: $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Agora, resta apenas aplicar a definição e, em seguida, a fórmula de duplicação . Acontece que a primeira parte e a segunda parte são exatamente iguais.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
fonte

Eu não acho que você possa dizer que igualdade de momentos implica igualdade de distribuição. Existem exemplos em que isso pode não ser válido.

— Landon Carter

StijnDeVuyst, desculpe, esta não é uma resposta aceitável. Eu tenho um exemplo em que os momentos são iguais, mas as distribuições não são as mesmas. O exemplo é um pouco complicado. Lamentavelmente, não tenho o exemplo comigo agora; também veio em um exame do semestre. Mas em breve vou postar o exemplo neste tópico, se você estiver interessado. Enfim, eu mesmo resolvi o problema. Obrigado pela ajuda.

— Landon Carter

@yedaynara e Stijn: Um exemplo clássico (devido a Heyde) é devido a Heyde: Considere os pdfs que é o pdf de o lognormal normal e . Todos os membros desta família de distribuições têm os mesmos momentos (de todos os pedidos). Observe que o lognormal padrão é um membro dessa família e seus momentos têm uma boa forma fechada.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— cardeal

Existem, no entanto, condições adicionais (por exemplo, de Carleman) nos momentos que garantirão a exclusividade da distribuição. Isso é conhecido como o problema do momento do hambúrguer .

— cardeal

Citação de web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... É álgebra linear elementar verificar se uma medida positiva com suporte finito é determinada exclusivamente por seus momentos ..." Condição de Carleman para determinação de M para as distribuições Beta no OP. @ cardinal e yedaynara estão ambos corretos que eu fui rápido demais em assumir isso. Mas, aparentemente, o apoio finito é o que salva o dia.

— StijnDeVuyst 23/03