Como gerar matrizes ortogonais uniformemente aleatórias de determinante positivo?

Provavelmente tenho uma pergunta boba sobre a qual, devo confessar, estou confusa. Imagine a geração repetida de matriz ortogonal (ortonormal) aleatória uniformemente distribuída de algum tamanho . Às vezes, a matriz gerada possui o determinante e, às vezes, o determinante . (Existem apenas dois valores possíveis. Do ponto de vista da rotação ortogonal significa que também há uma reflexão adicional além da rotação.)$p$$1$$-1$$\det=-1$

Nós podemos alterar o sinal de $\det$ de uma matriz ortogonal de menos para além de, alterando o sinal de qualquer um (ou, mais geralmente, qualquer número ímpar de) coluna do mesmo.

Minha pergunta é: dado que geramos essas matrizes aleatórias repetidamente, introduziremos algum viés em sua natureza aleatória uniforme se toda vez que escolhermos reverter sinal de apenas uma coluna específica (digamos, sempre a primeira ou sempre a última)? Ou devemos ter para escolher a coluna de forma aleatória, a fim de manter as matrizes representam aleatório coleção uniformemente distribuída?

A escolha da coluna não importa: a distribuição resultante nas matrizes ortogonais especiais, $SO(n)$ , ainda é uniforme.

Explicarei isso usando um argumento que se estende, de maneira óbvia, a muitas questões relacionadas sobre a geração uniforme de elementos de grupos. Cada etapa deste argumento é trivial, exigindo nada mais que referência a definições adequadas ou um cálculo simples (como notar que a matriz$\mathbb{I}_1$ é ortogonal e auto-inversa).

O argumento é uma generalização de uma situação familiar. Considere a tarefa de elaborar positivos números reais de acordo com uma distribuição contínua especificada . Isso pode ser feito retirando qualquer número real de uma distribuição contínua e negando o resultado, se necessário, para garantir um valor positivo (quase certamente). Para que esse processo tenha a distribuição , deve ter a propriedade queG F $F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

A maneira mais simples de fazer isso é quando é simétrico em torno de modo que , implicando : todas as probabilidades positivas as densidades são simplesmente duplicadas e todos os resultados negativos são eliminados. A relação familiar entre a distribuição semi-normal ( ) e a distribuição normal ( ) é desse tipo.0 L ( x ) - 1 / 2 = 1 / 2 - L ( - x ) F ( x ) = 2 L ( x ) - 1 F $G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

A seguir, o grupo desempenha o papel de números reais diferentes de zero (considerado como um grupo multiplicativo ) e seu subgrupo desempenha o papel de números reais positivos . A medida Haar é invariável sob negação; portanto, quando é "dobrada" de para , a distribuição dos valores positivos não muda . (Esta medida, infelizmente, não pode ser normalizada para uma medida de probabilidade - mas é a única maneira pela qual a analogia se decompõe.)S O ( n ) R + d x / x R - { 0 } R $O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

Negar uma coluna específica de uma matriz ortogonal (quando seu determinante é negativo) é o análogo de negar um número real negativo para dobrá-lo no subgrupo positivo. De maneira mais geral, você pode escolher com antecedência qualquer matriz ortogonal de determinante negativo e usá-la em vez deI$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$ : os resultados serão os mesmos.

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Embora a questão seja formulada em termos de geração de variáveis ​​aleatórias, ela realmente pergunta sobre distribuições de probabilidade nos grupos de matrizes eS O ( n , R ) = S O ( n $O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$ . A conexão entre esses grupos é descrita em termos da matriz ortogonal

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

porque negar a primeira coluna de uma matriz ortogonal significa multiplicar à direita por . Observe que e é a união disjuntaX I 1 S O ( n ) ⊂ O ( n ) O ( n $\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

Dado um espaço de probabilidade definido em , o processo descrito na pergunta define um mapaO ( n $(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

definindo

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

quando e$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

para$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$ .

A questão está preocupada em gerar elementos aleatórios em obtendo elementos aleatórios : ou seja, "empurrando-os para a frente" via para produzir . O pushforward cria um espaço de probabilidade comω ∈ O ( n ) f f ∗ ω = f ( ω ) ∈ S O ( n ) ( S O ( n ) , S ′ , P ′$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

e

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

para todos os .$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

Assumir que a multiplicação correta por preserva a medida, e observando que, em qualquer caso, , seguiria imediatamente para todos os , E∩$\mathbb{I}_1$E∈ S$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

Em particular, quando é invariável sob multiplicação à direita em (que é o que "uniforme" normalmente significa), o fato óbvio de que e seu inverso (que é igual a ) são ortogonais, o que precede, demonstrando que é uniforme. Portanto , é desnecessário selecionar uma coluna aleatória para negação. O ( n ) I 1 I 1 P$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$