Variância da estatística

O de Cohen $d$é uma das maneiras mais comuns de medir o tamanho de um efeito ( consulte a Wikipedia ). Simplesmente mede a distância entre duas médias em termos do desvio padrão combinado. Como podemos derivar a fórmula matemática da estimativa de variância do de Cohen $d$?

Dezembro de 2015 editar: relacionada a esta questão está a ideia de calcular intervalos de confiança em torno de $d$ . Este artigo afirma que

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

onde $n_{+}$ representa a soma dos dois tamanhos de amostra e $n_{\times}$ é o produto dos dois tamanhos de amostra.

Como é derivada essa fórmula?

Observe que a expressão de variação na pergunta é uma aproximação. Hedges (1981) derivada da grande variação da amostra de e aproximação de uma configuração geral (isto é, múltiplas experiências / estudos), e minha resposta praticamente caminha através das derivações do papel.$d$

Primeiro, as suposições que utilizaremos são as seguintes:

Vamos supor que temos dois grupos de tratamento independentes, (tratamento) e C (controle). Seja Y T i e Y C j as pontuações / respostas / o que quer que seja do sujeito i no grupo T e do sujeito j no grupo$T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$ , respectivamente.$C$

Assumimos que as respostas são normalmente distribuídas e os grupos de tratamento e controle compartilham uma variação comum, ou seja,

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

O tamanho do efeito que estamos interessados ​​em estimar em cada estudo é . O estimador do tamanho do efeito que usaremos é d= ˉ Y T- ˉ Y$\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$ ondeS2ké a variância da amostra imparcial para o grupo

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$ . $k$

Vamos considerar as propriedades de amostra grande de $d$ .

Em primeiro lugar, nota que: e (solta com a minha notação): ( n T - 1 ) S 2

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

Equations (1) and (2) lead to the fact that (again, being loose with my notation):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

Now, some clever algebra:

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ where $\theta \sim N(0,1)$, $V \sim \chi^2_{\nu}$, and $\nu = n_T+n_C-2$. Thus, $d$ is $\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$ times a variable which follows a non-central t-distribution with $n_T + n_C - 2$ degrees of freedom and non-centrality parameter of $\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$.

Using the moment properties of the non-central $t$ distribution, it follows that:

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ where $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

So Equation (3) provides the exact large sample variance. Note that an unbiased estimator for $\delta$ is $b d$, with variance:

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

For large degrees of freedom (i.e. large $n_T+n_C-2$), the variance of a non-central $t$ variate with $\nu$ degrees of freedom and non-centrality parameter $p$ can be approximated by $1 + \frac{p^2}{2\nu}$ (Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995). Thus, we have:

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

Plug in our estimator for $\delta$ and we're done.