Quantiles da combinação de distribuições normais

Tenho informações sobre as distribuições de dimensões antropométricas (como a extensão dos ombros) para crianças de diferentes idades. Para cada idade e dimensão, quero dizer, desvio padrão. (Eu também tenho oito quantis, mas acho que não poderei obter o que quero deles.)

Para cada dimensão, gostaria de estimar quantis específicos da distribuição de comprimento. Se eu assumir que cada uma das dimensões é normalmente distribuída, posso fazer isso com os meios e os desvios padrão. Existe uma fórmula bonita que eu possa usar para obter o valor associado a um quantil específico da distribuição?

O inverso é bastante fácil: para um valor específico, obtenha a área à direita do valor para cada uma das distribuições normais (idades). Soma os resultados e divida pelo número de distribuições.

Atualização : Aqui está a mesma pergunta em forma gráfica. Suponha que cada uma das distribuições coloridas seja normalmente distribuída.

Além disso, eu obviamente posso tentar vários comprimentos diferentes e continuar alterando-os até chegar a um que esteja próximo o suficiente do quantil desejado para minha precisão. Gostaria de saber se existe uma maneira melhor do que isso. E se essa é a abordagem correta, existe um nome para ela?

Infelizmente, a função quantílica normal padrão (a partir da qual todas as outras podem ser determinadas, uma vez que o normal é uma família em escala de localização) não admite uma forma fechada (isto é, uma "fórmula bonita"). A coisa mais próxima de uma forma fechada é que a função quantílica normal padrão é a função, , que satisfaz a equação diferencial$w$

$$\frac{d^2 w}{d p^2} = w \left(\frac{d w}{d p}\right)^2$$

e as condições iniciais e $w(1/2) = 0$$w'(1/2) = \sqrt{2 \pi}$

qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)

para obter o ésimo quantil do $p$$N(\mu, \sigma^2)$

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Edit: Com uma compreensão modificada do problema, os dados são gerados a partir de uma mistura de normais, para que a densidade dos dados observados seja:

$$p(x) = \sum_{i} w_{i} p_{i}(x)$$

onde e cada p i ( x ) é uma densidade normal com média μ $\sum_{i} w_{i} = 1$$p_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$

$$F(y) = \int_{-\infty}^{y} \sum_{i} w_{i} p_{i}(x) dx = \sum_{i} w_{i} \int_{-\infty}^{y} p_{i}(x) = \sum_{i} w_{i} F_{i}(y)$$

$F_{i}(x)$$\mu_{i}$$\sigma_{i}$$F^{-1}$

$F^{-1}$$w_{i}, \mu_{i}, \sigma_{i}$$p$

# evaluate the function at the point x, where the components 
# of the mixture have weights w, means stored in u, and std deviations
# stored in s - all must have the same length.
F = function(x,w,u,s) sum( w*pnorm(x,mean=u,sd=s) )

# provide an initial bracket for the quantile. default is c(-1000,1000). 
F_inv = function(p,w,u,s,br=c(-1000,1000))
{
   G = function(x) F(x,w,u,s) - p
   return( uniroot(G,br)$root ) 
}

#test 
# data is 50% N(0,1), 25% N(2,1), 20% N(5,1), 5% N(10,1)
X = c(rnorm(5000), rnorm(2500,mean=2,sd=1),rnorm(2000,mean=5,sd=1),rnorm(500,mean=10,sd=1))
quantile(X,.95)
    95% 
7.69205 
F_inv(.95,c(.5,.25,.2,.05),c(0,2,5,10),c(1,1,1,1))
[1] 7.745526

# data is 20% N(-5,1), 45% N(5,1), 30% N(10,1), 5% N(15,1)
X = c(rnorm(5000,mean=-5,sd=1), rnorm(2500,mean=5,sd=1),
      rnorm(2000,mean=10,sd=1), rnorm(500, mean=15,sd=1))
quantile(X,.95)
     95% 
12.69563 
F_inv(.95,c(.2,.45,.3,.05),c(-5,5,10,15),c(1,1,1,1))
[1] 12.81730