Teste de hipótese de Poisson para dois parâmetros

Então, por diversão, estou pegando alguns dados das chamadas do call center em que trabalho e tentando fazer alguns testes de hipóteses, especificamente o número de chamadas recebidas em uma semana, e usando uma distribuição Poisson para ajustá-las. Devido ao assunto do meu trabalho, existem dois tipos de semanas, vamos chamá-lo em uma semana em que eu suponho que haja mais ligações e fora de semanas em que eu suponho que há menos.

Eu tenho uma teoria de que o de uma semana (vamos chamá-lo ) é maior do que o de um fora de semana (vamos chamá-lo )$\lambda$$\lambda_1$$\lambda_2$

Portanto, a hipótese que eu quero testar é$H_0: \lambda_1 > \lambda_2, H_1: \lambda_1 \leq \lambda_2$

Eu sei como testar um parâmetro (digamos ), mas não tenho tanta certeza de como proceder para fazer 2 com um conjunto de dados. Digamos que eu tomo o valor de duas semanas de dados de cada um e para a semana e e para a semana. Alguém pode me ajudar nessa versão mais simples, para que eu possa aplicá-la a um conjunto de dados maior? Qualquer ajuda é apreciada, obrigado.$H_0: \lambda_1 > 1, H_1: \lambda_1 \leq 1$$X_1 = 2$$X_2 = 3$$Y_1 = 2$$Y_2=6$

Observe que normalmente a igualdade é nula (por um bom motivo).

Essa questão à parte, vou mencionar algumas abordagens para um teste desse tipo de hipótese

1. Um teste muito simples: condição na contagem total observada , que a converte em um teste binomial de proporções. Imagine que não são w em sobre-semana e w fora off-semana e w semanas combinadas.$n$$w_\text{on}$$w_\text{off}$$w$

Em seguida, sob a hipótese nula, a proporção esperada é ew$\frac{w_\text{on}}{w}$ respectivamente. Você pode fazer um teste unilateral da proporção nas semanas semanais com bastante facilidade.$\frac{w_\text{off}}{w}$

2. Você pode construir um teste unilateral adaptando uma estatística relacionada a um teste de razão de verossimilhança; a forma z do teste de Wald ou de um teste de pontuação pode ser executada por uma cauda, ​​por exemplo, e deve funcionar bem para .$\lambda$

Existem outras opiniões sobre isso.

Que tal apenas usar o GLM com estrutura de erro de Poisson e log-link ??? Mas a idéia sobre binômio pode ser mais poderosa.

Eu resolveria isso com um GLM de Poisson ou Quasi-Poisson com uma preferência por um binômio quase-Poisson ou negativo.

O problema com o uso de Poisson tradicional é que ele requer que a variação e a média sejam iguais, o que provavelmente não é o caso. O quase-Poisson ou NB estima a variação irrestrita pela média.

Você pode fazer qualquer um desses itens no R com muita facilidade.

# week on = 1, week off = 0
week.status <- c(1, 1, 0, 0)
calls <- c(2, 6, 2, 3)
model <- glm(calls ~ week.status, family = poisson())
# or change the poisson() after family to quasipoisson() 
# or use the neg binomial glm from the MASS package

A abordagem GLM é benéfica e, como você pode expandir, inclui variáveis ​​adicionais (por exemplo, mês do ano) que podem afetar o volume de chamadas.

Para fazer isso manualmente, eu provavelmente usaria uma aproximação normal e um teste t de duas amostras.

Começamos com o parâmetro Estimativa máxima de verossimilhança para o parâmetro Poisson, que é médio.

$\hat\lambda_1=\bar Y~~and~~\hat\lambda_2=\bar X$

$\bar Y-\bar X\sim N(\lambda_1-\lambda_2,\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2})$

$\frac{(\bar Y-\bar X)-\lambda_1-\lambda_2}{\sqrt{\frac{\lambda_1}{n_1}+\frac{\lambda_2}{n_2}}}$

$Z<Critical~Value$

A partir da página 125 da hipótese estatística de testes da Casella, é apresentada a resposta ao tipo de pergunta que você formulou. Anexei um link a um pdf que encontrei on-line para sua referência. Hipótese estatística de teste de Casella, terceira edição .