Avaliar a distribuição preditiva posterior na regressão linear bayesiana

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Estou confuso sobre como avaliar a distribuição preditiva posterior da regressão linear bayesiana, além do caso básico descrito aqui na página 3 e copiado abaixo.

p (\tilde{y} ∣ y) = \int p (\tilde{y} ∣ β, σ^{2}) p (β, σ^{2} ∣ y)

$p(\tilde y \mid y) = \int p(\tilde y \mid \beta, \sigma^2) p(\beta, \sigma^2 \mid y)$

O caso básico é este modelo de regressão linear:

y = X β + ϵ, y \sim N (X β, σ^{2})

$y = X \beta + \epsilon, \hspace{10mm} y \sim N(X \beta, \sigma^2)$

Se usarmos um uniforme anterior em , com uma escala Inv anterior em , OU o normal-inverso-gama anterior (veja aqui ), a distribuição preditiva posterior é analítica e é o aluno t. $\beta$ $\chi^2$ $\sigma^2$

E esse modelo?

y = X β + ϵ, y \sim N (X β, Σ)

$y = X \beta + \epsilon, \hspace{10mm} y \sim N(X \beta, \Sigma)$

Quando $y \sim N(X\beta, \Sigma)$ , mas $\Sigma$ é conhecido, a distribuição preditiva posterior é gaussiana multivariada. Normalmente, você não conhece $\Sigma$ , mas precisa estimar. Talvez você diga a diagonal e torne a diagonal uma função das covariáveis de alguma maneira. Isso é discutido no capítulo de regressão linear da Análise Bayesiana de Dados de Gelman .

Existe uma forma analítica para a distribuição preditiva posterior neste caso? Posso apenas conectar minha estimativa em um aluno multivariado t? Se você estimar mais de uma variação, a distribuição ainda é multivariada t?

Estou perguntando porque dizem que eu tenho algum já na mão. Quero saber se é mais provável que tenha sido previsto por, por exemplo, regressão linear A, regressão linear B $\tilde y$

— bill_e
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Se você tem amostras posteriores a partir da distribuição posterior você pode avaliar a distribuição preditiva com uma aproximação Monte Carlo

— niandra82

Ah, obrigado, eu sempre poderia fazer isso. Não existe uma fórmula analítica neste caso?

— bill_e

Os links estão quebrados, a propósito. Seria ótimo se você incorporasse as referências de outra maneira.

— precisa saber é o seguinte

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Se você assumir um uniforme anterior ao , o posterior para será com Para encontrar a distribuição preditiva, precisamos de mais informações. Se e for condicionalmente independente de dado , então Mas normalmente para esses tipos de modelos, e não são condicionalmente independentes. Em vez disso, normalmente temos $\beta$ $\beta$

β | y \sim N (\hat{β}, V_{β}) .

$\beta|y \sim N(\hat{\beta},V_\beta).$

\hat{β} = [X^{'} Σ^{- 1 1} X] X^{'} y e V_{β} = [X^{'} Σ^{- 1 1} X]^{- 1 1} .

$\hat{\beta} = [X'\Sigma^{-1}X]X'y \quad \mbox{and} \quad V_\beta =[X'\Sigma^{-1}X]^{-1}.$

\tilde{y} \sim N (\tilde{X} β, \tilde{Σ})

$\tilde{y} \sim N(\tilde{X}\beta,\tilde{\Sigma})$

y

$y$

β

$\beta$

\tilde{y} | y \sim N (\tilde{X} \hat{β}, \tilde{Σ} + V_{β}) .

$\tilde{y}|y \sim N(\tilde{X}\hat{\beta}, \tilde{\Sigma} + V_\beta).$

y

$y$

\tilde{y}

$\tilde{y}$

(\begin{matrix} y \\ \tilde{y} \end{matrix}) \sim N ([\begin{matrix} X β \\ \tilde{X} β \end{matrix}], [\begin{array}{cc} Σ & Σ_{12} \\ Σ_{21} & \tilde{Σ} \end{array}]) .

$\left( \begin{array}{c} y \\ \tilde{y} \end{array} \right) \sim N\left( \left[\begin{array}{c} X\beta \\ \tilde{X}\beta \end{array}\right], \left[ \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \tilde{\Sigma} \end{array} \right]\right).$ Se for esse o caso, então Isso pressupõe que e são todos conhecidos. Como você aponta, normalmente eles são desconhecidos e precisam ser estimados. Para os modelos comuns que possuem essa estrutura, por exemplo, séries temporais e modelos espaciais, geralmente não haverá uma forma fechada para a distribuição preditiva.

\tilde{y} | y \sim N (\tilde{X} \hat{β} + Σ_{21} Σ^{- 1 1} (y - X \hat{β}), \tilde{Σ} - Σ_{21} Σ^{- 1 1} Σ_{12}) .

$\tilde{y}|y \sim N(\tilde{X}\hat{\beta} + \Sigma_{21}\Sigma^{-1}(y-X\hat{\beta}), \tilde{\Sigma} - \Sigma_{21}\Sigma^{-1}\Sigma_{12}).$

Σ, Σ_{12},

$\Sigma, \Sigma_{12},$

\tilde{Σ}

$\tilde{\Sigma}$

— jaradniemi
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Em prévios Normal-Wishart não informativos ou multivariados, você tem a forma analítica como uma distribuição multivariada de Student, para uma regressão múltipla mutlivariada clássica. Acho que os desenvolvimentos neste documento estão relacionados à sua pergunta (você pode gostar do Apêndice A :-)). Eu normalmente comparei o resultado com uma distribuição preditiva posterior obtida usando o WinBUGS e a forma analítica: eles são exatamente equivalentes. O problema só se torna difícil quando você tem efeitos aleatórios adicionais em modelos de efeito misto, especialmente em design desequilibrado.

Em geral, com regressões clássicas, y e ỹ são condicionalmente independentes (os resíduos são iid)! Obviamente, se não for o caso, a solução proposta aqui não está correta.

Em R, (aqui, solução para anteriores uniformes), supondo que você tenha criado um modelo lm (chamado "modelo") de uma das respostas em seu modelo e chamado de "modelo", aqui está como obter a distribuição preditiva multivariada

library(mvtnorm)
Y = as.matrix(datas[,c("resp1","resp2","resp3")])
X =  model.matrix(delete.response(terms(model)), 
           data, model$contrasts)
XprimeX  = t(X) %*% X
XprimeXinv = solve(xprimex)
hatB =  xprimexinv %*% t(X) %*% Y
A = t(Y - X%*%hatB)%*% (Y-X%*%hatB)
F = ncol(X)
M = ncol(Y)
N = nrow(Y)
nu= N-(M+F)+1 #nu must be positive
C_1 =  c(1  + x0 %*% xprimexinv %*% t(x0)) #for a prediction of the factor setting x0 (a vector of size F=ncol(X))
varY = A/(nu) 
postmean = x0 %*% hatB
nsim = 2000
ysim = rmvt(n=nsim,delta=postmux0,C_1*varY,df=nu)

Agora, quantis de ysim são intervalos de tolerância de expectativa beta da distribuição preditiva, é claro que você pode usar diretamente a distribuição amostrada para fazer o que quiser.

— Pierre Lebrun
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