Distribuição de uma proporção de uniformes: o que está errado?

Suponha que $X$ e $Y$ são duas variáveis aleatórias uniformes de iid no intervalo $[0,1]$

Deixei $Z=X/Y$ , Estou encontrando o cdf de $Z$ , ie $\Pr(Z\leq z)$ .

Agora, eu vim com duas maneiras de fazer isso. Um produz uma resposta correta consistente com o pdf aqui: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , o outro não. Por que o segundo método está errado?

Primeiro método

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

Isso parece correto.

Segundo método

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$ pela probabilidade total

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

Tomando obtém-se $z>1$ $(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

Isso já é diferente. Por que isso está errado?

Obrigado!

— Junier
fonte

Aqui está uma dica .

Considere cuidadosamente o termo . Em particular, para concretude, escolha , de modo que estamos considerando o evento . $\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$ $z = 2$ $\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

Agora, observe esta imagem (que está intimamente relacionada à probabilidade acima).

Gráfico de probabilidade condicional para a proporção de uniformes

Agora, essa probabilidade condicional depende de nossa escolha particular de ? $z$

— cardeal
fonte

Acho que a descrição mais formal da figura é: Seja , podemos ver que o pdf para é então Mas ainda não entendo por que a configuração da integral como fiz antes não funciona. Mesmo que o valor de z não tenha um papel real, por que definir o limite integral de x como zy e depois definir o limite integral de y como 1 / z não corrige isso?

R = z Y

$R = zY$

R

$R$

1 / z

$1/z$

Pr (X \leq R \land R < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{r} 1 / z d x d r = \frac{1}{2 z}

$\Pr(X \leq R \wedge R < 1) = \int^{1}_{0}\int^{r}_{0} 1/z\ dx\ dr = \frac{1}{2z}$

— Junier

Ah, ok, acho que talvez eu tenha entendido. Então, teremos essa região contratada {(x, y): y <1 / z} no quadrado da unidade, então expandiremos essa mesma região por z, para que {(x, y): y <z / z}. Ou seja, toda a unidade quadrada novamente. A região onde x <y é 1/2. Mas como formalizamos matematicamente essa intuição; ou seja, seguindo este contrato, expanda a rota formalmente? E quais são algumas dicas para evitar esse tipo de erro?

— Junier

@Junier Desenhar uma imagem geralmente ajuda :-).

— whuber

+1 em @whuber. Em caso de dúvida, desenhe uma figura. Isso parece sempre esclarecer os problemas que estou tendo.

— Fomite 14/09/11

Depende de quão formalmente você deseja formalizar isso matematicamente. Observe primeiro que é a probabilidade conjunta , não a probabilidade condicional que você estava tentando calcular. Este é um erro bastante comum. Observe que dividir o que você tem por recupera a resposta correta. (Esta é apenas a regra de Bayes).

\int_{0}^{1 / z} \int_{0}^{z y} d x d y

$\int_0^{1/z} \int_{0}^{zy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

P (0 \leq X \leq z Y, 0 \leq Y \leq 1 / z)

$\mathbb P(0 \leq X \leq zY, 0 \leq Y \leq 1/z)$

P (0 \leq Y \leq 1 / z) = 1 / z

$\mathbb P(0 \leq Y \leq 1/z) = 1/z$

— cardeal