Estatística de pedidos para distribuição beta

Seja iid desenha a partir de . Como as estatísticas de pedidos mínimo e máximo são distribuídas, respectivamente? $x_1,\dots,x_n$ $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$

Eu apreciaria muito uma referência, se possível. Em geral, não estou familiarizado com estatísticas de ordem derivada.

Edit: Dado que a distribuição beta pode ser interpretada como uma estatística para a distribuição uniforme, meu palpite é que o mínimo ou o máximo da distribuição beta é distribuído de acordo com outra distribuição beta. $k$

Edit_2: eu adicionei uma configuração um pouco mais precisa com a qual me importo. No final, estou procurando limites para o mínimo e o máximo, portanto, qualquer que seja a forma que os conduza, ficarei satisfeito. Em última análise, também estou interessado no caso assintótico, mas é minha próxima preocupação, por assim dizer.

order-statistics beta-distribution

— Lepidopterist
fonte

Você pode mencionar que forma de resposta você precisa. Em geral, o PDF será um polinômio vezes a potência de uma função Beta incompleta, que provavelmente não simplificará nem será computável, exceto numericamente.

— whuber

@whuber, tentei responder sua pergunta na minha segunda edição. Antes de tudo, mudei a configuração para ser um pouco mais específica aos meus interesses. Em segundo lugar, estou principalmente preocupado com a amarração de ambos. O que quer que seja que me leve a isso me fará feliz. Meu argumento está correto sobre por que deveria ser uma distribuição Beta (pelo menos em alguns casos)?

— Lepidopterist

Acredito que seu argumento se aplica quando (a) e você busca o mínimo e (b) e você busca o máximo. Caso contrário, não se aplicará porque os valores extremos de um conjunto de estatísticas de ordem média não são as mesmas que estatísticas de ordem.

k / 2 = 1

$k/2=1$

(k - p - 1) / 2 = 1

$(k-p-1)/2=1$

— whuber

Estou interessado no caso mais geral não é necessariamente . De fato, em última análise, quero calcular o que acontece quando e vão para o infinito.

(k - p - 1) / 2

$(k-p-1)/2$

1

$1$

k

$k$

p

$p$

— Lepidopterist

você também deve especificar algo sobre a relação entre e , pois ambos vão para o infinito - um é mais rápido que o outro?

k

$k$

p

$p$

— MichaelChirico

Deixe a variável aleatória pai com pdf : $X \sim Beta(a,b)$ $f(x)$

_{(fonte: tri.org.au )}

Então, dada uma amostra do tamanho , o pdf da estatística da ordem de (amostra mínima) é: $n$ $1^{st}$

_{(fonte: tri.org.au )}

... e o pdf da estatística da ordem (máximo da amostra) é: $n^{th}$

_{(fonte: tri.org.au )}

Onde:

Estou usando a OrderStatfunção do pacote mathStatica do Mathematica para automatizar os ângulos
Beta[x,a,b]denota a função Beta incompleta $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$
e o domínio de suporte é (0,1).

— wolfies
fonte