Por que é necessário um teste t, uma vez que temos o teste z?

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Alguém pode dar uma explicação de por que o teste t "acontece"? Fui ensinado a usar o teste t quando você não conhece o desvio padrão da população (ou seja, você sabe apenas o desvio padrão da sua amostra), mas não sei por que isso o tornaria diferente de um teste z .

hypothesis-testing t-test

— jasonbogd
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Atualizei seu título para responder à pergunta que acho que você está fazendo; fique à vontade para editar se eu tiver mal interpretado

— Jeromy Anglim

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Acho que não entendi completamente sua pergunta. Você está perguntando por que você usaria um teste t?

Se você entende por que usaria o teste z, deve ter uma boa idéia do porquê do teste t. Para amostras grandes, um teste z e um teste t devem render resultados semelhantes ou idênticos. Porém, embora um teste z assuma uma distribuição normal, um teste t levará em consideração a incerteza na distribuição das amostras em tamanhos de amostras menores.

— Benjamin Mako Hill
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Hmm, o teste t também assume uma distribuição normal. Talvez o que você quis dizer é que exigimos menos informações sobre essa distribuição.

— JohnK

@ JohnK Eu não acho que faz sentido dizer que um teste assume uma distribuição em primeiro lugar, mas acho que Benjamin quis dizer que o escore t / estatística assume a distribuição T e não a distribuição Z.

— Datoraki

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O teste z em si é, na verdade, um teste de razão de probabilidade entre a probabilidade assumindo a hipótese nula e a probabilidade assumindo a hipótese alternativa. Assumindo distribuições normais subjacentes com variações conhecidas e testando apenas os meios, a álgebra simplifica para o teste z que conhecemos e amamos (DeGroot 1986, pp. 442-447).

Usar o mesmo procedimento de máxima verossimilhança, mas tratar a variação como um desconhecido, cria um par diferente de probabilidades e sua razão, e deixar a álgebra simplificada fornece a estatística: (DeGroot 1986, pp. 485–489). A distribuição de teste em questão também muda, pois o numerador da estatística acima é normalmente distribuído, , e o denominador é distribuído como raiz quadrada de normais ao quadrado, o , que é a raiz quadrada de um variável aleatória qui-quadrado. Gosset (Aluno) mostrou que se você tiver uma variável aleatória:

\frac{\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ_{0})}{\sqrt{\frac{S_{n}^{2}}{n - 1}}}

$\frac{\sqrt{n}\left(\bar{X}_n - \mu_0\right)}{\sqrt{\frac{S^2_n}{n-1}}}$

\bar{X}

$\bar{X}$

S^{2}

$S^2$

Y \sim N (0, 1) Z \sim χ_{n}^{2} X \sim \frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n}}}

$Y \sim N(0, 1)\\ Z \sim \chi^2_n\\ X \sim \frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n}}}$ então X é distribuído com a distribuição te n graus de liberdade.

Portanto, para declarar isso sem rigor, o teste t é o resultado natural do mesmo processo de razão de verossimilhança que está por trás do teste z quando a variação dos dados é desconhecida e está sendo estimada através da máxima verossimilhança.

DeGroot, MH Probabilidade e Estatística Addison-Wesley Publishing Company, 1986

— Avraham
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isso foi muito esclarecedor. Eu tinha esquecido completamente que o teste t vem do máximo de probabilidade possível

— Moderado

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A resposta não rigorosa é que você deseja usar um teste t quando tiver um pequeno número de amostras devido à chance de as amostras estarem incomumente próximas (em relação à variação real da população). Nesse caso, o denominador na fórmula da estatística t será extraordinariamente pequeno e, portanto, a estatística t em si será extraordinariamente grande. Portanto, é muito mais provável que você obtenha um valor grande para o stat-t quando tiver um número pequeno de amostras do que obteria um stat-z comparativamente grande; portanto, é necessário um valor maior para rejeitar o nulo usando o teste t que o teste z no mesmo nível de significância.

— Evan Wright
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Acho o argumento atraente, mas, refletindo, pouco convincente. Afinal, se por acaso as amostras estiverem invulgarmente afastadas (o que deve acontecer tão facilmente quanto estar invulgarmente próximas), parece que a mesma lógica levaria à conclusão oposta.

— whuber

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O diferenciador mais importante é o tamanho da amostra, como regra geral: se for menor que um teste t deve ser usado, caso contrário, um teste z. $n$ $30$

Uma boa visão geral das suposições e diferenças subjacentes (e semelhanças) de ambos os testes é fornecida aqui:
http://www.le.ac.uk/bl/gat/virtualfc/Stats/ttest.html

— vonjd
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