MLE de um processo Hawkes multivariado

Estou com dificuldades para implementar o estimador de probabilidade máxima para um processo multivariado de Hawkes (HP). Especificamente, enquanto a expressão analítica para uma função de probabilidade de log de um HP univariado pode ser facilmente encontrada on-line (por exemplo, Ozaki, 1979), parece haver versões diferentes (inconsistentes ou equivalentes?) Da função de probabilidade de log de um HP multivariado lá fora. Eu também tentei derivar o estimador abaixo e recebo mais um resultado (embora eu seja muito novo nesse assunto). Alguém poderia esclarecer isso para mim? Obrigado!

Esta é minha própria derivação (sigo a notação usada em Laub et al., 2015). Considere um conjunto de processos de contagem com os tempos de chegada observada para cada processo de contagem ( e um número natural). Defina um HP multivariado com funções de expiração decadentes exponencialmente, de modo que as intensidades sejam . Para este m-variável HP, a probabilidade logarítmica é igual à soma das probabilidades logarítmicas individuais, ou seja:$m$$N=(N_{1},..,N_{m})$$t_{i,j}$$i=1,..,m$$j$$\lambda^{*}_{i}(t)=\lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{t_{j,k}<t}\alpha_{i,j}e^{-\beta_{i,j}(t-t_{j,k})}$$\ln L(t)$$\ln L(t)=\sum\limits_{j=1}^{m} \ln L^{j}(t)$, com cada componente individual $\ln L^{j}(t)=-\int\limits_{0}^{T} \lambda^{*}_{j}(u)\mathrm{d}u+\int\limits_{0}^{T} \ln\lambda^{*}_{j}(u)\mathrm{d}N_{j}(u)$ .

Vamos primeiro focar na primeira parte, que chamamos de compensador $\varLambda$ .

Combinar isso com os resultados para as outras partes da probabilidade de log deve resultar em: $\ln L^{1}(t_i)= -\lambda_{1}T - \frac{\alpha_{1,1}}{\beta_{1,1}}\sum\limits_{f=1}^{F}[e^{-\beta_{1,1} (t_{1,F} - t_{1,f})}-1] - \frac{\alpha_{1,2}}{\beta_{1,2}}\sum\limits_{g=1}^{G}[e^{-\beta_{1,2} (t_{2,G} - t_{2,g})}-1] + \sum\limits_{f=1}^{F} \ln [\lambda_{1}+\sum\limits_{j=1}^{2} \alpha_{1,j}R_{1,j}(f)]$

com . Uma expressão semelhante pode ser derivada para .$R_{1,j}(f)= \sum\limits_{t_{j,k}<t_{1,f}}e^{-\beta_{1,j}(t_{1,f}-t_{j,k})}$$\ln L^{2}(t_i)$

No entanto, quando comparo esse resultado com outros artigos, percebo algumas diferenças. Por exemplo, no Toke (slide 56) a expressão para o compensador é muito diferente (soma todos os elementos para cada tipo de evento) e também não há termoEm seguida, em Crowley (2013) (p. 29), a expressão para o compensador é muito mais elaborada. Além disso, a equação em 2.8 (página 9) em Zheng (2013) oferece novamente uma alternativa (soma um subconjunto de elementos para cada tipo de evento) (nota: existe uma implementação do Matlab no final do documento). O artigo que mais se assemelha ao que eu acho é a página 6 de Carlsson et al. (2007). Como você pode ver, estou claramente confuso. Qual é a função de probabilidade correta que devo programar?$\lambda_{i}T$

Referências:

• Ozaki, 1979, Estimativa de máxima verossimilhança dos processos pontuais emocionantes de Hawkes

• Crowley, 2013, modelos de processos pontuais para dados multivariados de alta frequência com espaçamento irregular

• Laub, Taimre & Pollett, 2015, Hawkes Processes

• Zheng, 2013, Dinâmica de alta frequência do fluxo de pedidos

• Carlsson, Foo, Lee & Shek, 2007, Previsão de Comércio de Alta Freqüência com o Processo Bivariado de Hawkes

Há um pequeno erro na derivação. Na linha 5 (na figura inserida), é necessário para que a identidade esteja correta, e esse geralmente não é o caso. Os termos nas somas finais devem ser e , respectivamente. Caso contrário, a derivação parece correta.$T = t_{1,F} = t_{2,G}$$e^{-\beta_{i,1}(T - t_{1,f})} - 1$$e^{-\beta_{i,2}(T - t_{2,g})} - 1$

Uma derivação um pouco mais simples pode tomar a linha 3 como ponto de partida. Em seguida, permutar as somas e integração com o interior ser integral resultante de para .$t_{j,k}$$T$

Pode-se notar que, para o processo de Hawkes considerado aqui, é possível calcular recursivamente, o que implica que a complexidade computacional da probabilidade logarítmica possa ser linear no número de saltos (em vez de quadrático, como sugere a soma dupla sobre os saltos).$\lambda_i^*(t_{i,j})$

Duvido que existam versões inconsistentes da probabilidade na literatura, mas é claro que pode haver erros em algumas das referências. Outra possibilidade (provável) é que a notação ou as suposições sejam diferentes, ou que as representações sejam, de fato, equivalentes, mas escritas de maneiras diferentes. Uma possibilidade é que a intensidade da linha de base seja omitida, para que o termo desapareça.$\lambda_i$$\lambda_i T$