Qual é a condição necessária para um estimador imparcial ser UMVUE?

De acordo com o teorema de Rao-Blackwell , se a estatística é suficiente e completa para e , então é um estimador imparcial de variância mínima uniforme (UMVUE).$T$$\theta$$E(T)=\theta$$T$

Eu estou querendo saber como justificar que um estimador imparcial é um UMVUE:

1. se não for suficiente, pode ser um UMVUE?$T$
2. se não estiver completo, pode ser um UMVUE?$T$
3. Se não for suficiente ou completo, pode ser um UMVUE?$T$

Na estimativa uniforme e não uniforme da variância mínima, quando não existem estatísticas completas suficientes por L. Bondesson, alguns exemplos de UMVUEs não são estatísticas suficientes completas, incluindo o seguinte:

Seja observações independentes de uma variável aleatória , onde e são desconhecidos e é gama distribuído com o parâmetro de forma conhecido e o parâmetro de escala conhecido . Então é o UMVUE de . No entanto, quando , não há estatística suficiente para .$X_1, \ldots, X_n$μ σ Y k q ˉ X E ( X ) = μ + k q σ k ≠ 1 ( μ , σ $X = \mu + \sigma Y$$\mu$$\sigma$$Y$$k$$\theta$$\bar{X}$$E(X) = \mu + k\theta\sigma$$k \neq 1$$(\mu, \sigma)$

Vamos mostrar que pode haver um UMVUE que não é uma estatística suficiente.

Antes de tudo, se o estimador obtém (digamos) o valor 0 em todas as amostras, então claramente T é um UMVUE de 0 , que pode ser considerado uma função (constante) de θ . Por outro lado, esse estimador T claramente não é suficiente em geral.$T$$0$$T$$0$$\theta$$T$

É um pouco mais difícil encontrar um UMVUE do parâmetro desconhecido "inteiro" θ (em vez de um UMVUE de uma função dele), de modo que Y não seja suficiente para θ . Por exemplo, suponha que os "dados" são dados apenas por um rv normal, X ~ N ( τ , 1 ) , onde τ ∈ R é desconhecido. Claramente, X é suficiente e completo para τ . Seja Y = 1 se X ≥ 0 e Y = 0 se X < $Y$$\theta$$Y$$\theta$$X\sim N(\tau,1)$$\tau\in\mathbb{R}$$X$$\tau$$Y=1$$X\ge0$$Y=0$$X<0$, e deixe
; como sempre, denotamos por Φ e φ , respectivamente, o cdf e o pdf de N ( 0 , 1 ) . Portanto, o estimador Y é imparcial para θ = Φ ( τ ) e é uma função da estatística suficiente X completa . Portanto, Y é um UMVUE de θ $\theta:=\mathsf{E}_\tau Y=\mathsf{P}_\tau(X\ge0)=\Phi(\tau)$$\Phi$$\varphi$$N(0,1)$
$Y$$\theta=\Phi(\tau)$$X$$Y$ .$\theta=\Phi(\tau)$

Por outro lado, a função é contínua e aumenta estritamente em R , de 0 a 1 . Assim, a correspondência R ∋ τ = Φ - 1 ( θ ) ↔ θ = Φ ( τ ) ∈ ( 0 , 1 ) é um bijeç~ao. Ou seja, podemos redefinir a parametrização do problema, de τ a θ , de maneira individual. Portanto, Y é um UMVUE de θ , não apenas para o parâmetro "antigo" $\Phi$$\mathbb{R}$$0$$1$$\mathbb{R}\ni\tau=\Phi^{-1}(\theta)\leftrightarrow\theta=\Phi(\tau)\in(0,1)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$\tau$, mas também para o "novo" parâmetro . No entanto, Y não é suficiente para τ e, portanto, não é suficiente para θ . De fato, P τ ( X < - 1 | Y = 0 ) = P τ ( X < - 1 | X < 0 ) = P τ ( X < - 1 $\theta\in(0,1)$$Y$$\tau$$\theta$ comoτ→∞; aqui usamos a equivalência assintótica conhecidaΦ(-τ)∼φ(-τ)/τcomoτ→∞, que segue a regra l'Hospital. Portanto,Pτ(X<-1|Y=0)depende deτe, portanto, de

$$\begin{multline*} \mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)=\mathsf{P}_\tau(X<-1|X<0)=\frac{\mathsf{P}_\tau(X<-1)}{\mathsf{P}_\tau(X<0)} \\ =\frac{\Phi(-\tau-1)}{\Phi(-\tau)} \sim\frac{\varphi(-\tau-1)/(\tau+1)}{\varphi(-\tau)/\tau}\sim\frac{\varphi(-\tau-1)}{\varphi(-\tau)}=e^{-\tau-1/2} \end{multline*}$$ $\tau\to\infty$$\Phi(-\tau)\sim\varphi(-\tau)/\tau$$\tau\to\infty$$\mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)$$\tau$$\theta$, que mostra que não é suficiente para θ (enquanto Y é um UMVUE para θ ).$Y$$\theta$$Y$$\theta$