Por que uma variável aleatória "binomial negativa" é chamada assim?

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Não entendo por que a variável aleatória "binomial negativo" tem esse nome. O que é negativo nisso? O que é binomial nisso? O que é binomial negativo sobre isso?

— Hatshepsut
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Veja também os comentários dessa pergunta mais geral - que realmente merece uma resposta adequada, mea culpa .

— Glen_b -Reinstala Monica 28/08

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É uma referência ao fato de que um determinado coeficiente binomial que aparece na fórmula dessa distribuição pode ser escrito de maneira mais simples com números negativos.

Quando você realiza uma série de experimentos com probabilidade de sucesso $p$ , a probabilidade de que você veja $r$ falhas após exatamente $k$ tentativas é

. ${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

Isso também pode ser escrito como

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

e a palavra "negativo" refere-se a isso nesse coeficiente binomial. Observe como essa fórmula se parece com a fórmula da distribuição binomial comum, exceto pelo coeficiente desse sinal. $−r$

Outro nome para a distribuição binomial negativa é a distribuição de Pascal, então também existe.

==================================================== =======================

Resposta mais detalhada de acordo com a Wikipedia:

A função massa probabilística da distribuição binomial negativa é

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Aqui, a quantidade entre parênteses é o coeficiente binomial e é igual a

. $\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$

Como alternativa, essa quantidade pode ser escrita da seguinte maneira, explicando o nome "binomial negativo":

. $\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$

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Não entendo sua afirmação "Quando você realiza uma série de experimentos com probabilidade de sucesso p, a probabilidade de que você veja r falhas após exatamente k testes é ...". Parece-me que a fórmula deve ser

. Onde você conseguiu a fórmula listada? Eu suspeito que talvez você não esteja descrevendo corretamente o processo aleatório. Você quer dizer a probabilidade de obter exatamente

falhas após a realização detestes

? Se assim for, não deve o

ser

? Oque esta acontecendo aqui? Você pode definir o evento ao qual você está se referindo, com mais cuidado?

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

— DW

@DW Foi uma formulação infeliz. O que se quer dizer não é uma probabilidade de ver

falhas, uma vez que

testes foram realizados, mas uma probabilidade de precisar de

testes para observar

falhas.

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

— ameba diz Reinstate Monica

-4

Denizens of StatsExchange, First, as boas notícias, este autor copia a fórmula da Wikipedia para que tudo esteja bem lá. A descrição que este autor escreveu estava incorreta. Ele deveria ter escrito a probabilidade de obter r falhas após trilhas k + r.
Observe que nas primeiras tentativas de k + r-1 há exatamente falhas de r-1 e k sucessos. Portanto, a fórmula inclui corretamente (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Então, por definição, o julgamento final, ou seja, o k + r ésimo julgamento, deve ser a r-ésima falha. Como esse evento é independente, simplesmente multiplicamos sua probabilidade 1-p para encontrar a probabilidade declarada.

— Shawn Berry
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— Ertxiem - restabelece Monica